3.2.Метод прогонки.

Метод прогонки применяется для решения систем линейных уравнений с матрицей специального вида - трехдиагональной матрицей :

    - a_i x_i-1 + c_i x_i - b_i x_i+1= f_i,    i=2, ... , n-1

    x₁ = k ₁ x₂ + n ₁ (2)

    x_n = k ₂ x_n-1 + n ₂  

На первом этапе находятся коэффициенты

a _i+1 = b_i /(c_i - a_i a _i) , b _i+1 = ( b _i a_i + f_i ) /(c_i - a_i a _i ) i=2, ... , n-1 (прямой ход), a ₂ = k ₁ , b ₂ = n _1,

а на втором этапе находится решение

    x_i = a _i+1 x_i+1 + b _i+1 , i = n-1, ... ,2,1

    x_n = (n ₂ + b _n ) / ( 1-a _n k 2 ).   Для корректности метода прогонки достаточно, чтобы коэффициенты a_iбыли по модулю меньше единицы, а выражения в знаменателях формул были отличны от нуля. Достаточные условия корректности прогонки формулируются в следующих теоремах.

ТеоремаПусть система уравнений (2) такова, что   a_i> 0, b_i> 0, c_i> 0, c_iі a_i+ b_i, i=2,..., n-1, и пk₁п + пk₂п <2, пk₁п Ј 1, пk₂п Ј 1.

Тогда метод прогонки корректен.

ТеоремаПусть система уравнений (2) такова, что a_i> 0, b_i> 0, c_i> 0, c_i і a_i+ b_i, i=2,..., n-1, и существует i₀>1 такое, что c_i0> a_i0+ b_i0, и п k₁п Ј 1, п k₂п Ј 1.

Тогда метод прогонки корректен.

ТеоремаПусть система уравнений (2) такова, что зa_iз , зb_iз ,зc_iз >0, зc_iз > зa_iз+...+зb_iз , i=2,..., n-1, и п k₁п Ј 1, п k₂п Ј 1. Тогда метод прогонки корректен.

3.3.Метой простой итерации. Приведение системы к итерационной форме

Представить исходную систему уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n = b₂

_{… … … … … … … … …}

a_n1x₁ + a_n2x₂ + … + a_nnx_n = b_n

в итерационной форме можно путем записи каждого ее уравнения в виде решения относительно одного из неизвестных, например, соответственного неизвестного

x₁ = c₁₂x₂ + c₁₃x₃ + … + c_1nx_n + d₁

x₂ =c₂₁x₁ + c₂₃x₃ + … + c_2nx_n + d₂

_{… … … … … … … … … …}

x_n =c_n1x₁ + c_n2x₂ + c_n3x₃ +… + d_n

где

В матричном виде итерационная система уравнений имеет вид

Выполнение итерации

В качестве начального приближения к решению может быть выбран произвольный вектор. Часто для этого используют вектор правых частей приведенной системы. Решение не зависит от выбора начального приближения, однако, чем ближе начальное приближение к точному решению, тем меньше итераций потребуется для решения системы с заданной точностью  .

Вектор очередного приближения к решению рассчитывается по соотношению

или

Проверка условия окончания решения

Решение считается найденным, если два последовательных приближения оказываются достаточно близкими, т.е. норма вектора их разности сравнима с заданной точностью 

3.4.Достаточное условие сходимости простой итерации.

Если норма матрицы коэффициентов приведенной системы меньше единицы

,

то процесс итераций сходится к единственному решению независимо от выбора начального приближения. Для оценки нормы можно использовать любое из трех известных соотношений.

Следует отметить, что процесс итераций заведомо сходится, если элементы исходной матрицы удовлетворяют условию

или элементы приведенной матрицы удовлетворяют условию

где n - число неизвестных системы.

Если все нормы матрицы больше единицы, то с помощью элементарных преобразований исходную систему нужно попытаться заменить эквивалентной, для которой условия сходимости выполняются. Эквивалентная система может быть получена перестановкой уравнений исходной системы или заменой отдельных уравнений линейной комбинацией других уравнений системы. Целью проводимых преобразований должно быть получение максимальных по модулю коэффициентов на главной диагонали матрицы коэффициентов.