
- •Элементы теории погрешностей.
- •1.1.Определение абсолютной и относительной погрешности численного результата.
- •1.2.Основные составляющие абсолютной погрешности.
- •1.3.Формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для значения функции и переменных.
- •Решение уравнений с одной неизвестной.
- •2.1.Отделение корней уравнения и отделение корней алгебраического уравнения.
- •2.2.Понятие кратного корня.
- •2.3.Методы уточнения корней простой итерации.
- •2.4.Метод Ньютона.
- •2.5.Метод хорд.
- •2.6.Достаточное условие сходимости метода простой итерации.
- •Вывод условия сходимости:
- •2.7.Оценка погрешности n-приближения.
- •Решение систем линейных уравнений.
- •3.1.2.Классификация слау
- •3.1.3.Обусловленность слау
- •3.1.Метод Гаусса.
- •3.2.Метод прогонки.
- •3.3.Метой простой итерации. Приведение системы к итерационной форме
- •Выполнение итерации
- •Проверка условия окончания решения
- •3.4.Достаточное условие сходимости простой итерации.
- •3.5.Оценка погрешности n-приближения.
- •4.1.Метод простых итераций.
- •1) Функции 1(X,y) и 2(X,y) определены и непрерывно дифференцируемы в r;
- •3) В r выполнены неравенства
- •4.2.Метод Ньютона.
- •Интерполяция функций.
- •5.1.Постановка задачи.
- •5.2.Формула Лагранжа.
- •5.3.Формула Ньютона.
- •5.4.Оценка погрешности интерполяции.
- •5.5.Интерполяция сплайнами.
- •Определение кубического сплайна.
- •Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.
- •Аппроксимация функций.
- •6.1.Постановка задачи.
- •6.2.Метод наименьших квадратов.
- •6.3.Матричная формула для коэффициентов многочлена аппроксимации.
- •Численное интегрирование.
- •8.1.Формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона). Оценки погрешностей. Методы прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод парабол
- •8.2.Метод Рунге двойного счета для оценки погрешности.
- •Методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
- •9.1.Интегральное представление задачи Коши.
- •10.1.Обусловленность задачи поиска минимума.
- •10.3.Метод золотого сечения.
- •10.4.Метод координатного спуска.
- •10.5.Метод наискорейшего спуска.
Определение кубического сплайна.
Пусть
на отрезке
задана функция
.
Рассмотрим сетку узлов
и
обозначим через
расстояние между смежными узлами
,
Определение:
Назовем
кубическим сплайном функции
,
на сетке функцию
удовлетворяющую
условиям:
S1. На
каждом отрезке
функция
является полиномом третьей степени.
S2. Функция
,
её первая
и вторая
производные непрерывны на сегменте
.
S3.
S4. На
концах сегмента
функция
удовлетворяет условиям
.
Замечание.
На
концах сегмента
могут быть заданы в принципе и другие
условия, например:
.
Справедлива следующая теорема.
Теорема.
Существует
единственный сплайн
,
удовлетворяющий требованиям (S1)
– (S4).
Мы проведем конструктивное доказательство этой теоремы.
Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.
Сведем
задачу построения сплайна к отысканию
коэффициентов упомянутых полиномов
третьей степени на каждом из отрезков
.Для
этого сопоставим отрезку
полином
,
для удобства записанный в виде:
,
.
При этом, очевидно:
,
,
так, что
.
Для
выполнения требований (S3)
в узлах интерполяции с номерами
следует положить:
Требуя
непрерывности сплайна в узлах
и
выполнения условия (S3)
при
,
получим:
или
.
Это равенство можно переписать следующим образом:
.
Условие
(S2)
непрерывности первой производной
в
узлах
принимает вид:
и приводит к соотношениям
или
.
Аналогичным
образом условия непрерывности второй
производной
в тех же узлах:
означают, что
.
Наконец, дополнительные граничные условия (S4) дают еще два уравнения
.
В
итоге мы получили замкнутую систему
, , , , содержащую в сумме
линейных уравнений для отыскания
неизвестных:
Аппроксимация функций.
6.1.Постановка задачи.
Иногда возникает необходимость аппроксимации данной функции другими функциям, которые легче вычислить. В частности, рассматривается задача о наилучшем приближении в нормированном пространстве Н, когда заданную функцию f требуется заменить линейной комбинацией заданных элементов из Н так, чтобы отклонение ||f - || было минимальным.
6.2.Метод наименьших квадратов.
Mетод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII - начале XIX веков в связи с проблемой обработки экспериментальных данных. В этом случае задача построения функции непрерывного аргумента по дискретной информации , характеризуется двумя особенностями:
1.
Число точек
,
в которых проводятся измерения, обычно
бывает достаточно большим.
2.
Значения функции
в точках сетки
определяются приближенно в связи с
неизбежными ошибками измерения.
С
учетом этих обстоятельств строить
функцию
в виде суммы большого числа слагаемых
и добиваться ее точного равенства в
точках сетки величинам
,
как это делалось при интерполировании,
становится нецелесообразным.
В
методе наименьших квадратов аппроксимирующая
функция
ищется в виде суммы, аналогичной , но
содержащей сравнительно небольшое
число слагаемых
,
в
частности, возможен вариант
.
Предположим,
что мы каким-то образом выбрали
коэффициенты
,
тогда в каждой точке сетки
,
можно подсчитать погрешность
.
Сумма квадратов этих величин называется суммарной квадратичной погрешностью
.
Она дает количественную
оценку того, насколько близки значения
функции
в точках сетки к величинам
.
Меняя
значения коэффициентов
,
мы будем менять погрешность
,
которая является их функцией. В результате
естественно возникает задача:
Найти
такой, набор коэффициентов
,
при которых суммарная квадратичная
погрешность
оказывается минимальной.
Функцию
с набором коэффициентов, удовлетворяющих
этому требованию, называют наилучшим
приближением по методу наименьших
квадратов.
Построение наилучшего приближения сводится к классической задаче математического анализа об экстремуме функции нескольких переменных. Метод решения этой задачи известен. Необходимым условием экстремума является равенство нулю в экстремальном точке всех первых частных производных рассматриваемой функции. В случае это дает
.
Оставим
члены, содержащие
,
слева и поменяем в них порядок суммирования
по индексам
и
.
Члены, содержащие
,
перенесем направо. В результате уравнения
примут вид
,
где
,
.
Мы
получили систему линейных алгебраических
уравнений , в которой роль неизвестных
играют искомые коэффициенты разложения
.
Число уравнении и число неизвестных в
этой системе совпадает и равно
.
Матрица коэффициентов системы Г состоит
из элементов
,
которые определяются формулой . Ее
называют матрицей Грама для системы
функций
на сетке . Отметим, что матрица Грама
является симметричной: для ее элементов,
согласно , справедливо равенство
.
Числа
,
стоящие в правой части уравнений ,
вычисляются по формуле через значения
сеточной функции .
Предположим,
что функции
выбраны такими, что определитель матрицы
Грама, отличен от нуля:
.
В этом случае при любой правой части система имеет единственное решение
.
Рассмотрим
наряду с набором коэффициентов ,
полученных в результате решения системы
, любой другой набор коэффициентов
.
Представим числа
в виде
и
сравним значения суммарной квадратичной
погрешности
для функций
,
построенных с помощью коэффициентов
и .
Квадрат
погрешности и точке
для функции
с коэффициентами можно записать в
виде
Здесь
в среднем слагаемом мы заменили в одной
из сумм индекс суммирования
на
,
чтобы не использовать один и тот же
индекс в двух разных суммах и иметь
возможность перемножить их почленно.
Чтобы
получить суммарную квадратичную
погрешность, нужно просуммировать
выражения для
по индексу
Первые слагаемые не содержат
.
Их сумма дает погрешность
,
вычисленную для функции
с коэффициентами
.
Рассмотрим
теперь сумму вторых слагаемых, которые
зависят от
линейно:
Здесь
мы поменяли местами порядок суммирования
и воспользовались тем, что коэффициенты
,
удовлетворяют системе уравнений .
С учетом будем иметь
Формула
показывает, что функция
с коэффициентами
, полученными в результате решения
уравнений , действительно минимизирует
суммарную квадратичную погрешность
.
Если мы возьмем любой другой набор
коэффициентов , отличный от , то
согласно формуле к погрешности
добавится положительное слагаемое и
она увеличится.
Итак,
чтобы построить наилучшее приближение
сеточной функции , по методу наименьших
квадратов, нужно взять в качестве
коэффициентов разложения
решение системы линейных уравнений .