
- •Элементы теории погрешностей.
- •1.1.Определение абсолютной и относительной погрешности численного результата.
- •1.2.Основные составляющие абсолютной погрешности.
- •1.3.Формулы для оценки абсолютной и относительной погрешности для значения функции и переменных.
- •Решение уравнений с одной неизвестной.
- •2.1.Отделение корней уравнения и отделение корней алгебраического уравнения.
- •2.2.Понятие кратного корня.
- •2.3.Методы уточнения корней простой итерации.
- •2.4.Метод Ньютона.
- •2.5.Метод хорд.
- •2.6.Достаточное условие сходимости метода простой итерации.
- •Вывод условия сходимости:
- •2.7.Оценка погрешности n-приближения.
- •Решение систем линейных уравнений.
- •3.1.2.Классификация слау
- •3.1.3.Обусловленность слау
- •3.1.Метод Гаусса.
- •3.2.Метод прогонки.
- •3.3.Метой простой итерации. Приведение системы к итерационной форме
- •Выполнение итерации
- •Проверка условия окончания решения
- •3.4.Достаточное условие сходимости простой итерации.
- •3.5.Оценка погрешности n-приближения.
- •4.1.Метод простых итераций.
- •1) Функции 1(X,y) и 2(X,y) определены и непрерывно дифференцируемы в r;
- •3) В r выполнены неравенства
- •4.2.Метод Ньютона.
- •Интерполяция функций.
- •5.1.Постановка задачи.
- •5.2.Формула Лагранжа.
- •5.3.Формула Ньютона.
- •5.4.Оценка погрешности интерполяции.
- •5.5.Интерполяция сплайнами.
- •Определение кубического сплайна.
- •Формулировка системы уравнений для коэффициентов кубического сплайна.
- •Аппроксимация функций.
- •6.1.Постановка задачи.
- •6.2.Метод наименьших квадратов.
- •6.3.Матричная формула для коэффициентов многочлена аппроксимации.
- •Численное интегрирование.
- •8.1.Формулы прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона). Оценки погрешностей. Методы прямоугольников
- •Метод трапеций
- •Метод парабол
- •8.2.Метод Рунге двойного счета для оценки погрешности.
- •Методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
- •9.1.Интегральное представление задачи Коши.
- •10.1.Обусловленность задачи поиска минимума.
- •10.3.Метод золотого сечения.
- •10.4.Метод координатного спуска.
- •10.5.Метод наискорейшего спуска.
5.4.Оценка погрешности интерполяции.
Поставим
вопрос о том, насколько хорошо
интерполяционный полином
приближает функцию
на отрезке
,
то есть попытаемся оценить погрешность
(остаточный член)
,
.
Сразу же отметим, что по определению интерполяционного полинома
при
,
поэтому
речь идет об оценке
при значениях
.
Для
того, чтобы это сделать, следует ввести
дополнительно предположение о гладкости
функции
.
Предположим, что
имеет
непрерывную производную на отрезке
.
В
силу
можно представить в виде:
,
где
- полином степени
:
.
Зафиксируем
произвольное значение
и рассмотрим вспомогательную функцию
от переменной
:
,
заданную
на отрезке
и содержащую переменную
в качестве параметра. В силу своего
определения функция
обязана обращаться в нуль в узлах
интерполирования при
и
кроме того при
,
т. е. как функция аргумента
она имеет
нуля:
,
,
.
Если
, то все ее нули также лежат на отрезке
.
Если
то эти нули, вообще говоря, принадлежат
отрезку
,
а если
,
то они находятся на отрезке
.
Объединяя эти три случая, скажем, что
указанные нули функции
принадлежат отрезку
,
где
.
Согласно
известной теореме Ролля можно утверждать,
что производная
имеет по крайней мере
нуль на отрезке
(эти нули перемежаются с нулями самой
функции
).
Повторяя это рассуждение, заключаем,
что
имеет по крайней мере
нулей на отрезке
,
-
нуль и, наконец,
обращается хотя бы один раз в нуль в
некоторой точке
,
то есть
.
Учитывая,
что
производная полинома степени
тождественно равна нулю, получаем, что
;
и соответственно
.
Формула
не позволяет вычислить погрешность,
поскольку точное значение аргумента
нам неизвестно. Однако с ее помощью
погрешность можно оценить:
,
где
.
Обсудим
роль полинома
в оценке . На отрезке
он имеет
нуль, а его значения между этими нулями
сравнительно невелики, но, когда точка
выходит за пределы отрезка
и удаляется от точки
влево или от точки
вправо,
оценка ухудшается из-за быстрого роста
функции
.
Это хорошо видно на рис. 2, где в качестве
примера приведен график функции
с корнями
,
,
,
:
.
Ее
наибольшее по модулю значение на отрезке
равно единице. Однако уже в точках
за пределами отрезка полином
принимает значение
.
Из
сказанного можно сделать следующий
вывод. Если
,
то множитель
не обесценивает оценку . Такой случай
называют собственно интерполяцией
.
Противоположный случай, когда точка
лежит вне отрезка называют экстраполяцией
функции
.
Отмеченная выше особенность поведения
полинома
резко ухудшает оценку при экстраполяции.
Поэтому на практике экстраполяции
избегают или ограничиваются многочленами
невысокой степени
,
когда рост функции
не настолько критичен.
5.5.Интерполяция сплайнами.
Увеличение степени интерполяционного полинома может оказаться невыгодным из-за быстрого роста объема вычислений. К тому же далеко не всегда оно приводит к повышению точности. Во второй половине ХХ века с появлением компьютеров и развитием современной вычислительной математики при обработке больших таблиц получила развитие новая идея – строить приближение функций с помощью кусочно-полиномиальной интерполяции с использованием полиномов сравнительно невысоких степеней. Наиболее удобными оказались полиномы третьей степени. Такие конструкции получили название кубических сплайнов.