[ММвЛХ] Методуказания_Матметоды_в_ЛХ

молоко и наполнитель. Расходы продуктов на 1 кг мороженого и суточные запасы даны в таблице.

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 16 рублей, шоколадного - 14 рублей.

Какое количество мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Таблица 9. Расход исходных продуктов для изготовления мороженого

и их суточные запасы

Ход работы:

1.Сделайте постановку задачи (запишите в тетради целевую функцию, функциональные и областные ограничения)

2.Для проведения расчетов откройте аудиторный диск P → MatMethods → Simplex →SimplMet.exe.

3.В появившемся окне программы введите в поля, расположенные справа: количество переменных, количество ограничений со знаком «≥», «=», «≥». В ячейки справа запишите целевую функцию и ограничения, как показано на рисунке, затем нажмите кнопку «Расчет». В поле «Итоговый результат» появится решение задачи.

4.Решите задачу 2 самостоятельно. Постановку задачи и результат представьте в отчете.

Рис. 21. Ввод данных в программу «Симплекс-метод»

51

Задача 2. Фирма решает проблему наиболее рационального использования древесины на арендуемом участке леса. Фирма занимается изготовлением заготовок для производства корпусной мебели. Для комплекта заготовок №1 требуется 1 м3 дубовых и 3 м3 березовых лесоматериалов, для комплекта заготовок №2 - 5 м3 дубовых и 10 м3 березовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 м3 дубового и 180 м3 березового леса. Доход с продажи комплекта заготовок №1 составляет 3400 рублей, а с комплекта заготовок №2 -14000 рублей. Сколько комплектов заготовок №1 и №2 необходимо произвести фирме для получения максимального дохода?

52

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №13. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Цель работы: ознакомиться с постановкой и решением задач нелинейного программирования.

Краткие теоретические сведения

Задача нелинейного программирования формулируется в общем виде следующим образом. Требуется найти неотрицательные значения переменных x1 , x2 ,..., xn , удовлетворяющих ограничениям

и обращающих в максимум (или минимум) целевую функцию

L f x1, x2 ,..., xn ,

при этом хотя бы одно из ограничений, либо целевая функция, либо то и другое нелинейны.

Содержание работы

Задача: Бревно длиной 15м имеет форму конуса, диаметры оснований равны 0,4 и 0,2 м. Требуется автоматизировать процесс раскроя бревна для получения бруса квадратного поперечного сечения, ось которого совпадала бы с осью бревна, и объем которого был бы наибольшим. Определить размеры бруса.

Рис.22. Раскрой бревна

53

Примечание: длина бруса l связана с поперечным размером b следующими зависимостями:

d= dk-(dk –d0)*l/l0 b2=d2/2,

где dk- диаметр бревна в комле, м;

d0 – диаметр бревна в вершине, м; l0 – длина бревна, м.

Составьте целевую функцию и решите задачу в МS Excel используя пункты меню: Данные → Поиск решения.

54

ГЛОССАРИЙ

Анализ (от греч. ‘расчленение’) – 1) например, химический анализ вещества, декомпозиция глобальной цели и т.д.); 2) до недавнего времени – синоним научного исследования вообще («подвергнуть анализу означало «изучить»); 3) метод познания, основанный на 1). Познание не сводится к анализу; только в сочетании, переплетении, единстве с синтезом становится возможным познание реальности.

Временной ряд представляет собой упорядоченные во времени данные. Анализ временных рядов включает широкий спектр разведочных процедур и исследовательских методов, которые преследуют две основные цели: a) определение природы временного ряда и б) прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям). Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана.

Декомпозиция – деление системы на части, удобное для каких-либо операций с этой системой. Примерами будут: разделение объекта на отдельно проектируемые части, зоны обслуживания; рассмотрение физического явления или математическое описание отдельно для данной части системы.

Дискриминантный анализ является одним из методов многомерного статистического анализа. Цель дискриминантного анализа состоит в том, чтобы на основе измерения различных характеристик (признаков, параметров) объекта классифицировать его, то есть отнести к одной из нескольких групп (классов) некоторым оптимальным способом.

Под оптимальным способом понимается либо минимум математического ожидания потерь, либо минимум вероятности ложной классификации. Этот вид анализа является многомерным, так как измеряется несколько параметров объекта, по крайней мере больше одного, например: температура, влажность в технологическом процессе, давление, состав крови, температура больного и т.д.

Типичные области применения дискриминантного анализа – медицина, управление производством, экономика, геология, контроль качества.

Дисперсия (S2) показывает степень изменчивости вариант, меру их концентрации вокруг среднего значения и находится по формулам

Чем выше дисперсия, тем сильнее разброс отдельных вариант вокруг среднего значения.

Дисперсионный анализ применяется для обнаружения выделенного набора факторов на результативный признак. Факторы могут измеряться в неколичественной шкале, а результативный признак выражаться числом или вектором с числовыми компонентами.

Идея дисперсионного анализа состоит в разложении общей дисперсии результативного признака на части, обусловленные влиянием контролируемых факторов (межгрупповая дисперсия), и объясняемую неконтролируемым влиянием или случайными обстоятельствами, остаточную (внутригрупповую) дисперсию. Выводы о существенности влияния контролируемых факторов на результат производятся путем сравнения частей общей дисперсии при выполнении требования нормальности распределения результативного признака.

S y2 Sx2 Se2 ,

где S2y – общая дисперсия,

S2x – межгрупповая (факториальная, т.к. зависит от действия контролируемых факторов),

S2e– внутригрупповая или остаточная.

Иерархия – структура с наличием подчиненности, т.е. неравноправных связей между элементами, когда воздействие в одном из направлений оказывает гораздо большее влияние на элемент, чем в другом. Виды иерархических структур разнообразны, но важных для практики иерархических структур всего две – древовидная и ромбовидная.

Древовидная структура наиболее проста для анализа и реализации. Кроме того, в ней всегда удобно выделять иерархические уровни – группы элементов, находящиеся на одинаковом удалении от верхнего элемента. Пример древовидной структуры – задача проектирования технического объекта от его основных характеристик (верхний уровень) через проектирование основных частей, функциональных систем, групп агрегатов, механизмов до уровня отдельных деталей.

Имитационное моделирование – процесс конструирования модели реальной системы и постановки экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых некоторым критерием или совокупностью критериев) различные стратегии, обеспечивающие функционирование данной системы.

56

Квантили – структурные характеристики вариационного ряда, отсекающие в пределах ряда определенную часть его членов. К ним относятся квартили, децили и перцентили.

Квартили – это три значения признака (Q1, Q2, Q3), делящие ранжированный вариационный ряд на четыре части (равные). Аналогично девять децилей делят ряд на десять равных частей, а девяносто девять перцентилей – на сто равных частей.

Кластерный анализ объединяет различные процедуры, используемые для проведения классификации. В результате применения этих процедур исходная совокупность объектов разделяется на кластеры или группы (классы) схожих между собой объектов. Под кластером обычно понимают группу объектов, обладающую свойством плотности (плотность объектов внутри кластера выше, чем вне его), дисперсией, отделимостью от других кластеров, формой (например, кластер может иметь очертания гиперсферы или эллипсоида), размером. Примеры: горы на географической карте, созвездия на звездном небе.

Наиболее часто методы кластерного анализа используются в социологии, маркетинговых исследованиях, экономике, биологии, медицине, археологии.

Корреляционный анализ – это многообразие методов исследования параметров генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону. Корреляционный анализ позволяет с помощью выборки делать выводы о степени статистической связи (мере связи), между признаками.

Наиболее распространѐнная мера статистической линейной связи между признаками – коэффициент корреляции Пирсона:

Коэффициентом изменчивости (вариации) называют выраженное в процентах отношение выборочного среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) к выборочной средней.

57

Он характеризует те же свойства совокупности, что и среднее квад-

ратическое отклонение (стандартное отклонение). Преимущество коэффициента изменчивости заключается в том, что он является безразмерной величиной, и поэтому он удобен для сравнения рассеяния признаков, имеющих разные единицы измерения.

Недостатком является невозможность нахождения V при х, равных нулю (или близких к нему).

V S 100 / X .

Линейное программирование (ЛП) - наиболее часто используемый метод оптимизации. Задачами ЛП называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными.

В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи по темам:

рациональное использование сырья и материалов, оптимизация раскроя; оптимизация производственной программы предприятий;

оптимальное размещение и концентрация производства; составление оптимального плана перевозок, работы транспорта; управление производственными запасами; прочие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Математическое моделирование – перевод так называемого «ре-

ального мира» на язык математики, что позволяет получить более точное представление о его наиболее существенных свойствах и в некотором смысле предсказать будущие события.

Модель – это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования заменяет оригинал, так что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте– оригинале.

Модель математическая – абстрактная или знаковая модель, построенная средствами математики (например, в виде системы уравнений, графа, логической формулы и т. п.)

Модель механистическая (BGC-model) – одна из современных концепций моделирования лесных экосистем. Механистические модели описывают циркуляцию (круговорот), трансформацию и аккумуляцию энергии на внутренних и внешних уровнях лесной экосистемы. Главная цель – описание взаимодействий между растениями и окружающей средой, поэтому такие модели часто называют моделями процессов, или биогеохимическими моделями (БГХ-модели). В отличие от популяци-

онных моделей, таких как модели управления и сукцессионные, БГХ-

58

модели включают в себя механистическое описание взаимодействий между растениями и окружающими условиями. Следовательно, они созданы для изучения отклика (to be responsive) на изменения окружающих условий.

БГХ-модели имитируют дневные и месячные циклы углерода, воды и азота для общих типов биомов или отдельных видов.

Модель сукцессионная, или пространственная (succession model, gap

– or patch model) - одна из современных концепций моделирования лесных экосистем.

Главной задачей сукцессионных моделей является описание вегетационного режима во времени. Возобновление, рост и отмирание отдельных деревьев, а также взаимодействие между различными видами является ключевыми особенностями моделей данного вида. Влияние хозяйственной деятельности обычно не оценивается, главной областью исследования является взаимодействие между основными факторами влияния на рост дерева (солнечная энергия, вода, питательные вещества). Первой и наиболее известной моделью сукцессионного типа является Jabowa I (Botkin et. al., 1972), разработанная для описания динамики древостоев на экспериментальном участке леса Hubbard Brook на Севе- ро-Востоке США. С тех пор было разработано множество приложений. Сегодня такие модели используются для оценки потенциального вегетационного режима и изменений в распределении растительного покрова в связи с ожидаемыми изменениями климата.

Модель управления (management model) – одна из современных концепций моделирования лесных экосистем. Модели для прогнозирования роста древостоя и обеспечения непрерывного и неистощительного пользования лесом. Модели имитируют ход роста древостоя с учетом хозяйственной деятельности (рубок ухода, рубок главного пользования и т.п.)

Медиана – средняя, относительно которой ряд распределения делится на две равные части: в обе стороны от Ме располагается одинаковое число вариант. Для ее определения собранные данные ранжируют, и при нечетном числе членов ряда центральная варианта и будет Ме. При четном числе – Ме равно полусумме двух соседних вариант, расположенных в центре от ряда.

Мода (Мо) – величина, наиболее часто встречающаяся в данной совокупности. Класс с наибольшей частотой называется модальным.

Нелинейное программирование (НЛП) представляет собой наибо-

лее характерный метод оптимизации при проектировании машин и технологических процессов и служит для выбора наилучшего плана рас-

59

пределения ограниченных материальных, финансовых и трудовых ресурсов.

Задачами НЛП называются задачи, в которых нелинейны целевая функция, и (или) ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. НЛП представляет собой наиболее характерный метод оптимизации при проектировании машин и технологических процессов и служит для выбора наилучшего плана распределения ограниченных материальных, финансовых и трудовых ресурсов.

В сфере лесного комплекса к их числу относятся следующие задачи:

оптимальное проектирование лесных машин и оборудования;

рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

оптимизации системы сервиса и технического обслуживания машинно-тракторного парка и др.

Регрессионный анализ – это метод определения степени раздельного или совместного влияния факторов на результативный признак.

Процедура простой регрессии заключается в нахождении аналитического выражения для связи двух переменных X и Y.

Связь – важный для целей рассмотрения обмен между элементами веществом, энергией, информацией.

Система – совокупность элементов, которая обладает следующими признаками:

связями, которые позволяют посредством переходов по ним от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности;

свойством, отличным от свойств отдельных элементов совокупности.

Практически любой объект с определенной точки зрения может быть рассмотрен как система. Вопрос состоит в том, насколько целесообразна такая точка зрения.

Система автоматизированная – сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: 1) в виде технических средств; 2) в виде действия человека.

Система большая – система, которая включает значительное число однотипных элементов и однотипных связей. В качестве примера можно привести трубопровод, элементами которого будут являться участки между швами или опорами. Для расчетов на прочность по методу конечных элементов элементами системы считаются небольшие участки

60