Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Механика. Все работы.doc
Скачиваний:
53
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
10.94 Mб
Скачать

Оценка величины случайной погрешности

Случайные погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно, проявляются в хаотическом изменении результатов повторных наблюдений, могут отклонять результаты измерения от истинного значения в обе стороны. При обработке результатов эксперимента возникают два вопроса: 1) как найти из полученных значений наиболее вероятное значение измеряемой величины и 2) чему равна ожидаемая погрешность измерений? Ответ на эти вопросы дается теорией вероятностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения Гаусса.

Смысл закона Гаусса заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное (и нам неизвестное) значение которой есть хо. Проведя несколько раз измерения, вместо хо получаем набор значений х1, х2,… хi,… xn. Оказывается, что с помощью закона распределения мы хотя и не можем указать точное значение хо, но можем найти, с какой вероятностью Р величина хо окажется в любом интервале значений а<xo<b. Область значений а<xo<b называют доверительным интервалом. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

(1.4)

и равна

. (1.5)

Функция плотности распределения f(x) характеризует число случаев, когда измеряемая величина попала в интервал от x до x+dx (dx – малое изменение измеряемой величины). x – набор значений, которые мы получаем в результате измерения, x – их среднее арифметическое, а среднее квадратичное отклонение

, (1.6)

. (1.7)

Рис. 1.1

Как видно из рис.1.1, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины x и шириной – расстоянием между точками перегиба. Значение x обычно принимают за ту величину, которую надо было измерить, а σ характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше σ, тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение. Площадь под кривой от а до b определяет долю случаев, в которых измеряемая величина лежит в этом интервале (т.е. вероятность того, что измеряемая величина попала в интервал от а до b).

Следует подчеркнуть, что x – не истинное значение измеряемой величины, а лишь некоторое приближение к нему. Чем более широким выбирается доверительный интервал, тем выше вероятность попадания истинного значения в этот интервал. Так, например, вероятность отклонения истинного значения от положения вершины гауссовой кривой x не более чем на σ равна 0,683, а не более чем на 0,955.

Бесконечное увеличение числа измерений не дает заметного увеличения точности. Зависимость надежности (вероятности) от числа измерений сложна и не выражается в элементарных функциях. Существуют специальные таблицы коэффициентов Стьюдента, по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал Sx, чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую вероятность (надежность) Р.

Стандартный доверительный интервал, или среднеквадратичная погрешность среднего, согласно выводам математической статистики убывает пропорционально и определяется формулой

. (1.8)

Таблица 1.1

Таблица коэффициентов Стьюдента t (P,n)

N

P

0,5

0,7

0,9

0,95

0,999

3

0,82

1,3

2,9

4,3

31,6

5

0,74

1,2

2,1

2,8

8,6

7

0,72

1,1

1,9

2,4

6,0

10

0,70

1,1

1,8

2,3

4,8

20

0,69

1,1

1,7

2,1

3,9

0,67

1,0

1,6

2,0

3,3

Чтобы найти величину случайной погрешности, необходимо стандартный доверительный интервал умножить на коэффициент Стьюдента:

Δхсл.= t (P,n) . Sx. (1.9)