Контрольные вопросы

1. Сформулируйте цель работы.

2. Назовите основные виды движения твердых тел.

3. Запишите уравнение движения для маятника Максвелла.

4. Дайте определение момента инерции материальной точки, твердого тела.

5. Получите формулу для момента инерции полых цилиндрических тел относительно оси, проходящей через ось симметрии.

6. Запишите формулу кинетической энергии тела при сложном движении.

7. Запишите закон сохранения механической энергии для маятника Максвелла.

8. Сделайте выводы по работе.

5. Закон изменения момента импульса и закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки относительно некото-рого центра О называется векторное произведение , гдерадиус-вектор материальной точки, проведенный из центраО (рис. 5.1), импульс материальной точки. Величина момента импульса равна, гдеα – угол между векторами и.

Проекция вектора , на осьZ , проходящую через точку 0, называется моментом импульса материальной точки относительно этой оси

Рис. 5.1

. Если скорость точки лежит в плоскости, перпендикулярной оси Z, то , гдекратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой направлена скорость.

Для твердого тела, вращавшегося вокруг неподвижной оси, момент импульса определяется выражением , гдеJ – момент инерции тела относительно оси вращения, ω – угловая скорость вращения.

Момент импульса системы тел определяется выражением

, (5.1)

где момент импульсаi-го тела. Известно, что производная по времени от момента импульса механической системы равна моменту внешних сил, действующих на эту систему:

, (5.2)

где момент внешних сил. Это утверждение в механике называютзаконом изменения момента импульса (II законом Ньютона для вращательного движения). Если система замкнутая, то равен нулю, и момент импульса системы остается постоянным. Это утверждение называют законом сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса относительно некоторой оси формулируется следующим образом: если момент внешних сил, действующих на систему относительно некоторой оси равен нулю, то момент импульса системы по отношению к той же оси остается постоянным.

Гироскопом (греч. круг, кружусь, вращаюсь и смотрю, наблюдаю) называется быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Основное свойство гироскопа – способность сохранять неизменным направление оси вращения при отсутствии момента внешних сил.

На свойствах гироскопа основана работа разнообразных устройств или приборов, применяемых в авиации, морском флоте, ракетной и космической технике для управления подвижными объектами, их стабилизации, а также при проведении некоторых специальных работ – топографических, геодезических и других, например, навигационные устройства – гирокомпас и гировертикаль. Простейшим гироскопом является детский волчок, быстро вращающийся вокруг своей оси.

Свойства гироскопа проявляются при выполнении двух условий:

1) ось вращения гироскопа должна иметь возможность изменять свое направление в пространстве;

2) угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси должна быть очень велика по сравнению с той угловой скоростью, которую будет иметь сама ось при изменении своего направления.

Прецессией называется вращение оси гироскопа с некоторой угловой скоростью, при этом ось описывает в пространстве конус.

Явление прецессии объясняется законом изменения момента импульса.

5.1. Определение скорости полета снаряда с помощью баллистического крутильного маятника. (Лабораторная работа 10)

Приборы и принадлежности: баллистический крутильный маятник FРМ-09 или унифилярный подвес с пушкой ФМ 15.

Теория метода и описание прибора

Метод измерения скорости полета снаряда основан на законе сохранения момента импульса относительно некоторой оси.

Пусть снаряд массой m, движущийся со скоростью V, попадает в неподвижное уравновешенное твердое тело на расстоянии l от оси вращения и застревает в нем. Применение закона сохранения момента импульса относительно оси вращения дает следующее соотношение

(5.3)

Рис. 5.2

До столкновения с телом моментом импульса обладал лишь снаряд после столкновения, гдемомент инерции тела вместе со снарядом. По закону сохранения момента импульсаL0 = L. Зная m, l, J, , можно определить скорость снаряда:

. (5.4)

Сразу после соударения снаряда крутильный маятник обладает только кинетической энергией

. (5.5)

По достижении максимального отклонения из положения равновесия маятник останавливается, его кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию упругой деформации закрученной проволоки

, (5.6)

где f – модуль кручения проволоки; J – момент инерции маятника вместе со снарядом; наибольшее значение угловой скорости маятника;₀ – наибольший угол отклонения маятника из положения равновесия.

Приравнивая выражения (5.5) и (5.6) (по закону сохранения энергии), находим

. (5.7)

Тогда выражение (5.4) для скорости снаряда примет вид

. (5.8)

С другой стороны, движение маятника после попадания в него снаряда описывается основным законом динамки вращательного движения:

, (5.9)

где M_упр = – f – момент сил упругости закрученной проволоки.

Так как угловое ускорение ε – вторая производная от угла поворота  по времени, то мы приходим к дифференциальному уравнению колебательного движения маятника:

или . (5.10)

Это дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний. Решением этого уравнения является функция

. (5.11)

Выражение (5.11) будет удовлетворять уравнению (5.10) (в чем можно убедиться непосредственной подстановкой) лишь в том случае, когда

. (5.12)

Подставляя в (5.8) выражение для момента инерции из (5.12), получим

. (5.13)

Специальная методика измерения скорости V позволяет исключить модуль кручения f из формулы (5.13).

Пусть снаряд был выпущен из стреляющего устройства, когда перемещаемые грузы находились на расстоянии R₁ от оси вращения. В этом положении момент инерции маятника

,

следовательно, период колебаний составит

. (5.14)

После перемещения грузов до расстояния период изменится:

, (5.15)

где J₀ – момент инерции маятника без грузов; M – масса одного груза.

Из соотношений (5.14) и (5.15) можно получить следующее выражение для f:

. (5.16)

Подставляя выражение (5.16) в формулу (5.13) для с учетом того, чтоT = T₁, получим

. (5.17)

В формуле (5.17) величины M, m, l – задаются, а величины T₁, T₂, R₁, R₂, ₀ измеряются.

Рис. 5.3

В настоящей работе для измерения скорости снаряда используется баллистический крутильный маятник ФРМ-09 (рис. 5.3). Он состоит из основания (1), оснащенного регулируемыми ножками (2), которые позволяют устанавливать основание горизонтально. В основании закреплена стойка (3), на которой закреплены верхний (4), нижний (5) и средний (6) кронштейны. К среднему кронштейну прикреплено стреляющее устройство (7), а также прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой (8) и фотоэлектрический датчик (9). Кронштейны (4) и (5) имеют зажимы, служащие для крепления стальной проволоки (13), на которой подвешен маятник, состоящий из двух мисочек, наполненных пластилином (10), двух перемещаемых грузов (11), двух стержней (12) и водилки (14).