54.Неопределенный интеграл: определение, геометрический смысл.

Ответ - Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С1 получим конкретную функцию у1 = F(х) + С1, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С2, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.  А налогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С2, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С1, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С2 – С1/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х2 + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол. 

56. Основные свойства интеграла.

Ответ - 1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.(∫f(x)dx)′=f(x)d∫f(x)dx=f(x)dx Доказательство:

∫f(x)dx=F(x)+C, 

 (∫f(x)dx)′=(F(x)+C)′=F′(x)+0=F′(x)=f(x), 

d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)′dx=f(x)dx 

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. ∫dF(x)dx=F(x)+C. Доказательство: 

dF(x)=F′(x)dx=f(x)dx,

∫dF(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C. 

3) Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла, т.е. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx,k/=0  Доказательство: Пусть F(x) -- первообразная для функции f(x), тогда  kF(x) -- первообразная для функции kf(x). 

(kF(x))′=0+kF′(x)=kF′(x)=kf(x).

Таким образом 

∫kf(x)dx=kF(x)+C=k(F(x)+C/k)=k(F(x)+C1)=k∫f(x)dx 

4) Неопределенный интеграл от суммы(разности) двух функций равен сумме(разности) интегралов этих функций.

∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx 

Распространяется на n слагаемых. Доказательство: 

d[∫f(x)dx±∫g(x)dx]=d∫f(x)dx±d∫g(x)dx= 

=f(x)dx±g(x)dx=[f(x)±g(x)]dx.

Возвращаясь к той механической задаче, которая была поставлена вначале, можно теперь написать, чтоv=∫a(t)dt и s=∫v(t)dt. Предположим для определенности: движение равноускоренное, например, происходит под действием силы тяжести; тогда a=g (если направление вертикали вниз считать положительным) иv=∫gdt=gt+C. Получили выражение для скорости v, в которое, кроме времени t, входит еще и произвольная постояннаяС. При различных значениях С получаются и различные значения для скорости в один и тот же момент времени; следовательно, имеющихся данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить вполне определенное решение задачи, достаточно знать величину скорости в один какой-нибудь момент времени. Например, пусть известно, что в момент t=t0 скоростьv=v0, подставим эти значения в полученное выражение для скорости v0=gt0+C, откуда C=v0−gt0 , и теперь решение принимает определенный вид: v=g(t−t0)+v0 . Найдем, далее, выражение для пути s. Имеем

s=∫[g(t−t0)+v0]dt=g(t−t0)2/2+v0(t−t0)+C′ 

Неизвестную новую постоянную C′ можно установить, если, например, дано, что путь s=s0 в моментt=t0; найдя, что C′=s0, получаем решение в окончательном виде s=g(t−t0)2/2+v0(t−t0)+s0 . Значения t0, s0,v0 условно называется начальными значениями величин t,s,v.

Точно так же можно написать: m=∫ρ(x)dx. И здесь при интегрировании появится постоянная C, которая определяется из того условия, что при x=0и масса m должна обратиться в нуль.