- •1.Понятие числовых множеств. Действия над числовыми множествами.
- •2.Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •3.Функция.График функции. Способы задания функции.
- •4.Основные характеристики функции: монотонность, четность, периодичность.
- •5.Обратная функция.
- •6.Сложная функция.
- •7.Основные элементарные функции; (степенная, тригонометрические, обратно-тригонометрические, показательная, логарифмическая) их свойства и графики.
- •Корень n-ой степени.
- •Корень n-ой степени, n - четное число.
- •Корень n-ой степени, n - нечетное число.
- •Степенная функция с нечетным положительным показателем.
- •Степенная функция с четным положительным показателем.
- •Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
- •Степенная функция с четным отрицательным показателем.
- •Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.
- •Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.
- •Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.
- •Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.
- •Показательная функция.
- •Логарифмическая функция.
- •Тригонометрические функции, их свойства и графики.
- •Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
- •8.Числовые последовательности.
- •Определение
- •Примеры
- •Операции над последовательностями
- •9.Предел числовой последовательности.
- •10.Предельный переход в неравенствах.
- •11.Предел функции в точке.
- •Левый и правый пределы функции
- •13.Предел функции при х→0
- •14.Бесконечно большая функция. Ответ - Бесконечно большая функция
- •15.Определение и основные свойства бесконечно малых функции.
- •16.Связь между функцией, пределом и бесконечно малой величиной.
- •17.Основные теоремы о пределах.
- •Предел монотонной функции
- •19.Первый замечательный предел.
- •Следствия из первого замечательного предела
- •20.Второй замечательный предел(б/д).
- •Следствия из второго замечательного предела
- •21.Сравнение бесконечно малых.
- •22. Основные теоремы о б.М.
- •23.Непрерывность функции в точке и на промежутке.
- •24.Точки разрыва функции и их классификация.
- •25.Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •26.Свойства функций, непрерывных на отрезке (б/д). Ответ - Свойства функций непрерывных на отрезке:
- •27.Производная; Ее геометрический и физический смысл.
- •28.Связь между непрерывность. И дифференцируемостью функции.
- •31.Производная обратной функции.
- •32.Производные основных элементарных функций; таблица производных (вывод).
- •33.Дифференцирование неявных функций.
- •34. Дифференцирование параметрический заданных функций.
- •35.Логарифмическое дифференцирование.
- •38.Основные теоремы о дифференциалах.
- •39.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •40.Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы dy.
- •41.Теорема Ролля
- •54.Неопределенный интеграл: определение, геометрический смысл.
- •56. Основные свойства интеграла.
- •57. Таблица основных интегралов.
- •58.Интегрирование заменой переменной.
- •59.Интегрирование по частям
- •61.Основыне сведения о разложении многочленов
- •62.Теоремы о разложении рациональной дроби на сумму элементарных дробей
- •63.Основная тригонометрическая подстановка.
Следствия из первого замечательного предела
20.Второй замечательный предел(б/д).
Ответ -
Следствия из второго замечательного предела
1°
2°
3°
4°
5°
6°
21.Сравнение бесконечно малых.
Ответ - Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т. е. по быстроте их стремления к нулю.
Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.
Определение. Если , то функция a называется Бесконечно малой более высокого порядка, чем функция b.
Определение. Если , то a и b называются Бесконечно малыми одного порядка.
Определение. Если То функции a и b называются Эквивалентными бесконечно малыми. Записывают a ~ b.
Пример. Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x.
Т. е. функция f(x) = x10 – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x.
Определение. Бесконечно малая функция a называется Бесконечно малой порядка K Относительно бесконечно малой функции b, если предел конечен и отличен от нуля.
Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы.
Пример. Если , то при х®0, т. е. функция a - бесконечно малая порядка 2 относительно функции b.
Пример. Если , то при х®0не существует, т. е. функция a и b несравнимы.
22. Основные теоремы о б.М.
Ответ - Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство.
Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .
Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство. Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x), где и. Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε>0 найдется δ>0, такое, что для x, удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ, выполняется |f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε>0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ1>0, что при |x – a|<δ1 имеем |α(x)|< ε/2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ2>0, что при |x – a|<δ2 имеем | β(x)|< ε/2.
Возьмем δ=min{ δ1, δ2}.Тогда в окрестности точки a радиуса δбудет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/2 и | β(x)|< ε/2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|<ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a, то для произвольного ε>0 найдется окрестность точки a, в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M. Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M= ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и, то.
Следствие 2. Если и c=const, то.
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробьесть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.