- •1.Понятие числовых множеств. Действия над числовыми множествами.
- •2.Числовые промежутки. Окрестность точки.
- •3.Функция.График функции. Способы задания функции.
- •4.Основные характеристики функции: монотонность, четность, периодичность.
- •5.Обратная функция.
- •6.Сложная функция.
- •7.Основные элементарные функции; (степенная, тригонометрические, обратно-тригонометрические, показательная, логарифмическая) их свойства и графики.
- •Корень n-ой степени.
- •Корень n-ой степени, n - четное число.
- •Корень n-ой степени, n - нечетное число.
- •Степенная функция с нечетным положительным показателем.
- •Степенная функция с четным положительным показателем.
- •Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.
- •Степенная функция с четным отрицательным показателем.
- •Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.
- •Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.
- •Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.
- •Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.
- •Показательная функция.
- •Логарифмическая функция.
- •Тригонометрические функции, их свойства и графики.
- •Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.
- •8.Числовые последовательности.
- •Определение
- •Примеры
- •Операции над последовательностями
- •9.Предел числовой последовательности.
- •10.Предельный переход в неравенствах.
- •11.Предел функции в точке.
- •Левый и правый пределы функции
- •13.Предел функции при х→0
- •14.Бесконечно большая функция. Ответ - Бесконечно большая функция
- •15.Определение и основные свойства бесконечно малых функции.
- •16.Связь между функцией, пределом и бесконечно малой величиной.
- •17.Основные теоремы о пределах.
- •Предел монотонной функции
- •19.Первый замечательный предел.
- •Следствия из первого замечательного предела
- •20.Второй замечательный предел(б/д).
- •Следствия из второго замечательного предела
- •21.Сравнение бесконечно малых.
- •22. Основные теоремы о б.М.
- •23.Непрерывность функции в точке и на промежутке.
- •24.Точки разрыва функции и их классификация.
- •25.Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •26.Свойства функций, непрерывных на отрезке (б/д). Ответ - Свойства функций непрерывных на отрезке:
- •27.Производная; Ее геометрический и физический смысл.
- •28.Связь между непрерывность. И дифференцируемостью функции.
- •31.Производная обратной функции.
- •32.Производные основных элементарных функций; таблица производных (вывод).
- •33.Дифференцирование неявных функций.
- •34. Дифференцирование параметрический заданных функций.
- •35.Логарифмическое дифференцирование.
- •38.Основные теоремы о дифференциалах.
- •39.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •40.Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы dy.
- •41.Теорема Ролля
- •54.Неопределенный интеграл: определение, геометрический смысл.
- •56. Основные свойства интеграла.
- •57. Таблица основных интегралов.
- •58.Интегрирование заменой переменной.
- •59.Интегрирование по частям
- •61.Основыне сведения о разложении многочленов
- •62.Теоремы о разложении рациональной дроби на сумму элементарных дробей
- •63.Основная тригонометрическая подстановка.
16.Связь между функцией, пределом и бесконечно малой величиной.
Ответ - Теорема 1. Если функция имеет при() предел, равный, то ее можно представить в виде суммы этого числаи бесконечно малойпри(), т.е.. Теорема 2. Если функциюможно представить как сумму числаи бесконечно малойпри(), то числоесть предел этой функции при(), т.е..
17.Основные теоремы о пределах.
Ответ - Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.
Þ .
Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x) , то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).
Þ .
Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.
.
Доказательство. f(x)=с, докажем, что .
Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое
положительное число. Тогда при
.
Теорема 4. Функцияне может иметь двух различных пределов в
одной точке.
Доказательство. Предположим противное. Пусть
и .
По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:
f(x)-A=- б.м. при,
f(x)-B=- б.м. при.
Вычитая эти равенства, получим:
B-A=-.
Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:
B-A=0, т.е. B=A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.
Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при, причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.
.
Доказательство. Пусть ,,.
Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:
где - б.м. при.
Сложим алгебраически эти равенства:
f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С)=,
где б.м. при.
По теореме о связи предела и б.м. функции:
А+В-С=.
Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при, причем предел произведения равен произведению пределов.
.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
.
Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,
причем , то и их частное имеет предел при, причем предел частного равен частному пределов.
, .
18.Признаки существования пределов: теорема о пределе промежуточной функции(доказательство);теорема о пределе монотонной функции(б/д).
Ответ - (О пределе промежуточной функции).
Если имеет место соотношение и,, то и
Пример
Задание. Найти предел функциив точке, если известно, что имеет место соотношение:и,
Решение. Найдем пределы заданных функций ипри:
А тогда по теореме о предел промежуточной функции и
Ответ.
Предел монотонной функции
Теорема
(О пределе монотонной функции).
Если функция является монотонной и ограниченной в областиили, то соответственно существует еелевый пределили ееправый предел.
19.Первый замечательный предел.
Ответ - Первый замечательный предел
Рассматривая отношение ипри стремлении аргументак нулю, имеем отношение двух бесконечно малых величин. А это есть неопределенность вида.
Доказательство строится на геометрическом представлении функцийв окружности единичного радиуса и теоремы о том, что центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Сравнивая, приходим к двойному неравенству. Дальнейшие очевидные преобразования и переход к пределу при стремлении аргументак нулю, а также использование теоремы о пределах трех монотонных функций[1]приводят к доказательству того, что. Отсюда следует, что.
Основным достоинством этого предела, почему он и называется замечательным, является эквивалентность двух бесконечно малых величин и его аргумента:. Отсюда получаем и другие эквивалентные функции при, а именно,
Пусть т. е.бесконечно малая приМожно получить еще несколько пар эквивалентных функций, которые для студентов технических специальностей значительно упрощают вычисления.