1.Мета роботи

Досліджувати вплив жорсткості вала і маси концентрованого на ньому вантажу на величину критичної кутової швидкості обертання вала.

2.Короткі теоретичні відомості

Велику увагу при розрахунках на міцність деталей, що обертаються приділяється розгляду коливань цих деталей в процесі роботи,так як коливання приводять до значного зменшення терміну служби деталей, а іноді і до їх поломки.

Коливання можуть збуджуватися періодичними або раптово прикладеними навантаженнями. Розрізняють власні і вимушені коливання. Власні коливання здійснюються внаслідок початкового обурення під дією поновлюючої сили. Вимушені коливання здійснюються під дією збурювальної і поновлюючої сил. Прикладом поновлюючої сили може служити сила пружності пружини, сила тяжіння, сила пружності балки і т.п. Прикладом збурювальної сили може служити сила від вібраціі двигуна, вага деталі, яка обертається на валу.

Застосовано до валів розрізняють поперечні, крутні і крутильно - згинаючі коливання. Ми будемо розглядати тільки поперечні вимушені коливання вала, без врахування сил опору.

Обмежимо задачу розгляду випадку, коли збурювальна сила змінюється по гармонічному закону, поновлююча сила лінійно залежить від величини прогину вала, силами опору нехтуватимемо.

Одним з основних параметрів коливального процесу є його частота. Розрізняють частоту власних коливань системи /ω₀/ і частоту вимушених коливань / ω /. При збігу власної частоти коливань системи з частотою збурювальної сили наступає найбільш небезпечне, з точки зору міцності, явище резонансу.

Розглянемо двохопорний вал з жорстко закріпленим по середині диском з масою m /Мал.1/.Нехай центр маси диска зміщений відносно осі обертання вала на величину ексцентриситету е. При обертанні на вал буде діяти відцентрова сила, під дією якої вал прогинається на величину f_дин . Величина відцентрової сили F_відц з врахуванням прогину f_дин буде рівна

(1)

де ω – кутова швидкість обертання валу.

При сталій кутовій швидкості обертання ця сила буде зрівноважена, без урахування сил опору, силою жорсткості вала F_пруж,яка у відповідності з прийнятими нами припущеннями про лінійну залежність від величини прогину буде рівна

F_пруж.=сf_дин (2 )

де – називають згинаючою жорсткістю вала.

В останній формулі - статичний прогин вала під дією ваги , а - приведена вага системи, яка складається із ваги диска і приведеної ваги вала.

,

де – вага диска, – приведена вага валу при симетричному розміщенні диска відносно опор / – вага вала /.

Із умови рівності сил F_відц і F_пруж отримуємо

= сf_дин,

звідки

( 3)

Із рівняння / 3 / видно, що зі збільшенням кутової швидкості обертання вала ω до деякого значення, f_дин зросте і при

( 4 )

Із рівняння / 4 / отримуємо, що при цьому

( 5 )

Цю частоту коливань називають критичною і позначають ω_кр.

Із теорії коливань відомо що, що власна частота коливань любої системи також визначається за формулою

( 6 )

Таким чином, якщо кутова швидкість обертання вала ω співпадає з частотою власних коливань ω₀, наступає явище резонансу, і при цьому .

Формулу / 5 / можна перетворити, якщо замість і підставити їхні вирази через і .

; ,

де - прискорення вільного падіння.

Тоді

Величину статичного прогину для випадку, представленого на мал.1, можна визначити розрахунковим шляхом:

, ( 8 )

де Е – модуль пружності матеріалу вала.

J – момент інерції розрізу вала.

Величину можна також визначити експериментально.

При переході через резонанс і подальшому збільшенні частоти обертання вала зміниться напрямок динамічного прогину вала. Зробив перетворення рівняння / 3 /, отримаємо

( 9 )

Як випливає з рівняння / 9 /, при величина динамічного прогину наближується до величини ексцентриситету е і наступає динамічна рівновага.

На мал.2 показаний графік залежності f_дин від частоти обертання вала, визначуваною формулами / 3 / і / 9 /. Для забезпечення надійної роботи машин рекомендується не розташовувати робочу частоту в межах 0.7…1.3 ω_кр . Більшість валів працює в до резонансному режимі, причому для зменшення небезпеки резонансу підвищують їх жорсткість, отже, и власну частоту коливань. При більших частотах обертання, наприклад, в бистрохідних турбінах і центрифугах, застосовують вали, що працюють в за резонансному режимі. Для того, щоб якнайдалі відійти від області резонансу вали роблять підвищеної піддатливості. Перехід через критичну частоту обертання аби запобігти аварій відбувається при, можливо, більшій швидкості; застосовують спеціальні обмежувачі амплітуд коливань; швидко обертальні деталі ретельно балансують.