Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Дисперсия – это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. Дисперсия обычно называется средним квадратом отклонений. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по средней арифметической простой или взвешенной:

Для не сгруппированных данных σ² =,

Для вариационного ряда σ² = .

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень квадратный из дисперсии:

Для не сгруппированных данных σ = ,

Для вариационного ряда σ = .

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака в совокупности. Выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Вычислению среднего квадратического отклонения предшествует расчёт дисперсии.

Определение дисперсии и среднего квадратического отклонения по индивидуальным значениям

Порядок расчета:

1. по значениям признака исчисляется средняя арифметическая простая

;

2. определяются отклонения каждой варианты от средней ;

3. полученные отклонения возводят в квадрат ()²;

4. рассчитывается сумма квадратов отклонений вариантов от общей средней Σ()² ;

5. сумма квадратов отклонений вариантов от общей средней делится на число значений вариантов Σ()² / n

Задание 3. По примеру двух бригад (задание 1) определите дисперсию и среднее квалратическое отклонение производительности труда.

Методика решения:

Определение дисперсии и среднего квадратического отклонения в дискретных и интервальных рядах распределения

Порядок расчета:

1. вычисляется средняя арифметическая взвешенная ;

2. определяются отклонения каждой варианты от средней ;

3. полученные отклонения возводят в квадрат ()²;

4. квадраты отклонений вариантов от общей средней взвешиваются по частотам ()²f ;

5. рассчитывается сумма взвешенных квадратов отклонений вариантов от общей средней Σ()² f ;

6. сумма взвешенных квадратов отклонений вариантов от общей средней делится на сумму частот Σ()² f / Σ f .

Задание 4. Рассчитайте дисперсию и среднее квадратическое отклонение по данным типовой задачи. Сделайте вывод.

Произведено продукции 1 рабочим, шт. (х варианта)	Число рабочих	хƒ
8	7
9	10
10	15
11	12
12	6
Итого

Методика решения:

Вывод:

Если исходные данные представлены в виде интервального ряда распределения, то сначала надо определить дискретное значение признака, а далее применить тот же метод, что изложен выше.

Задание 5. Рассчитайте дисперсию и среднее квадратическое отклонение для интервального ряда по данным распределения посевной площади хозяйства по урожайности пшеницы:

Урожайность пшеницы, ц\га	Посевная площадь, га	х	хƒ
14-16	100
16-18	300
18-20	400
20-22	200
Итого

Методика решения:

Вывод:

Расчет дисперсии упрощенным способом.

Применение приведенной формулы расчета дисперсии не всегда удобно, хотя она хорошо отражает суть показателя. Поэтому необходимо знать другую формулу упрощенного способа расчета, вытекающую из приведенной выше:

,

где - средняя величина квадратов вариантов;

- квадрат средней арифметической.

Порядок расчета (если данные несгруппированы):

Задание 6. Имеются данные о производительности труда рабочих.Вычислить дисперсию упрощенным способом.

№ рабочего	Произведена продукция за смену, шт.
1	12
2	16
3	11
4	18
5	13
Итого

Методика решения:

Вывод:

Порядок расчета (если данные сгруппированы):

Задание 7. Имеются данные о распределении сельскохозяйственных предприятий по наличию основных фондов. Вычислить дисперсию упрощенным способом.

Группы предприятий по наличию основных фондов, млн. руб.	Число предприятий
2-4	11
4-6	16
6-8	16
8-10	7
Итого

Методика решения:

Вывод: