Тема 8. Корреляционно – регрессионный анализ

Корреляция– это статистическая зависимость между случайными величинами, не имеющая строгого функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Корреляционная статистическая связь – не полная связь между признаками при большом числе наблюдений (при сравнении средних значений).

Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачами регрессионного анализаявляются выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии).

Виды корреляционной связи в зависимости от количества признаков подразделяются на:

1.простую (парную) корреляцию, при которой измеряется связь между двумя признаками, один из которых является факторным признаком, а другой – результативным.

2.множественную корреляцию, при которой связь измеряется между тремя и более признаков, один из которых является результативным, а другие – факторными.

Как при простой корреляции, так и при множественной – связь имеет линейный характер (выражена линейным уравнением) или криволинейный характер (когда связь выражается любым другим математическим уравнением). Исходя из этого различают:

1. линейную корреляцию

2. криволинейную корреляцию.

Схематично корреляционно-регрессионный анализ складывается из следующих последовательно решаемых вопросов:

1. Установление причин связи (предшествует корреляционному анализу, который основывается на количественном измерении связей).

2. Отбор наиболее существенных признаков для анализа (сопоставление предположительно взаимосвязанных статистических рядов, построение таблиц и их графиков, применение статистических группировок простых и комбинированных).

3. Определение формы связи и подбор математического уравнения для выражения существующих связей (характер взаимосвязи между зависимой переменной и фактором). Например: если существует связь между двумя признаками – парная корреляция, взаимосвязаны они линейно, можно применить уравнение прямой х₀=а₀+а₁х₁, где а₀и а₁– параметры уравнения связи, х₀и х₁– зависимая (результативный признак) и не зависимая (факторный признак) переменные.

4. Расчет числовых характеристик корреляционной связи.

5. Статистическая оценка выборочных показателей связи.

Парная линейная корреляция

После того как определено принципиальное содержание корреляционной модели – комплекс показателей и форма связи, выраженные через соответствующие математические уравнения, задача сводится к определению показателей связи.

В основе отыскания показателей корреляционных уравнений лежит метод наименьших квадратов. Его суть заключается в том, что наилучшие оценки а₀и а₁получают, когда, где х₁есть х₀.

Сумма квадратов отклонений является функцией параметров а₀и а₁. Ее минимизация осуществляется решением системы уравнений

na₀+a₁Σx₁=Σx₀

a₀Σx₁+a₁Σx₁²=Σx₀x₁

По данным статистического наблюдения необходимо вычислить Σx_0, Σx₁,Σx₀x₁, но прежде х₀х₁, затем х₁²иΣx₁².

Подставим их в уравнение и определим неизвестные параметры а₀и а₁узнав их заменим в уравнение х₀ =а₀+а₁х₁.

х₀ – значение зависимой переменной, исчисленной по уравнению связи (подстрочные знаки указывают переменные, включенные в анализ)

а₀– начало отсчета или значение х₀ , когда х₁=0

а₁- коэффициент пропорциональности или коэффициент регрессии, он показывает, как изменяется х₀при изменении х₁на единицу.

Практически для количественной оценки тесноты связи широко используют линейный коэффициент корреляции(r) икоэффициент детерминации(r²).

Если заданны значения переменных х₀ и х₁, то он вычисляется по формуле

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от –1 до +1. Принято считать, что если /r/<0,30, то связь слабая, при /r/=(0,3÷0,7)- средняя, при /r/>0,70– сильная, или тесная. Если жеr~0, то можно говорить об отсутствии линейной связи между х₀и х₁. Если при /r/=1, то можно говорить о функциональной связи.

Множественная линейная корреляция

Определение числовых значений параметров уравнения множественной корреляции (регрессии), как и парной корреляции (регрессии), обычно производится методом наименьших квадратов, для чего строится и решается система нормальных уравнений. Для линейной множественной корреляции у₁₂…._s= а₁+а₁х₁+ а₂ х₂+….+а_sх_sсистема нормальных уравнений такова:

а₀n+ а₁ Σх₁+ а₂Σх₂+ …..+ а_sΣх_s=Σх₀

а₀Σх₁+ а₁Σх₁²+ а₂Σх₁х₂+….+ а_sΣх₁х₂= Σх₀х₁

………………………………………………….

а₀Σх_s+ а₁Σх₁х_s+ а₂Σх₂х_s+ ……+ а_sΣх_s²= Σх₀х_s

Коэффициенты при х_iв уравнении множественной линейной корреляции показывают, на сколько в среднем изменяется результативный признак при увеличении соответствующего фактора на единицу и при фиксированном (постоянном) значении других факторов, входящих в уравнение регрессии.

Например: при нахождении а₀, а₁ и а₂получим к примеру уравнение в виде

х₀= 26,02 + 4,52 х₁+ 5,74 х₂, х₀- урожайность; 4,52 х₁– внесение удобрения; 5,74 х₂– количество прополок. а₀показывает регрессию х₀на х₁при фиксированном х₂, а а₂– регрессию х₀на х₂при фиксированном х₁. Полученное уравнение регрессии показывает, что изменение внесения удобрений под основную обработку на единицу приводит к изменению урожайности на 4,5 ц при том условии, что число прополок фиксируется на определенном уровне. Повышение или понижение числа прополок приведет соответственно к росту или падению урожайности на 5,7ц при фиксированном значении х₁.

При оценке линейной множественной связи рассчитывают коэффициент множественной корреляции. По смыслу он отражает тесноту связи между вариацией зависимой переменной и вариациями всех включенных в анализ независимых переменных. Обычно с начало строится линейная множественная регрессия, а затем оценивается сам коэффициент множественной корреляции, его формула такая:

, коэффициент детерминации R²– квадрат коэффициента множественной корреляции.

σ²_ост =,

σ²_общ=, где σ²_общ– общая дисперсия фактических данных результативного признака, σ²_ост– остаточная дисперсия характеризующая вариацию х₀за счет факторов, не включенных в уравнение регрессии.

Коэффициент множественной корреляции изменяется от 0 до 1. Чем ближе Rк 1, тем более сильная связь между х₀и множеством х_n. ЕслиRне значительна по величине (как правило,R< или = 0,3), то можно утверждать, что не все важные факторы взаимосвязаны, учтены, либо выбрана неподходящая форма уравнения.

Коэффициент множественной корреляции, так же как и коэффициент парной корреляции, можно рассчитать на основе параметров уравнения связи:

.

Задание 1.Имеются следующие данные по десяти однородным предприятиям (таблица). Найдите уравнение корреляционной связи между электровооруженностью труда и выпуском продукции на одного работающего (связь линейная). Проанализируйте параметры уравнения регрессии. Определите парный коэффициент корреляции различными способами. Сделайте вывод.

Номер завода	Электровооруженность труда на одного работающего, кВт/ч (х1)	Выпуск готовой продукции на 1 работающего,.руб. (х0)	х1х0	х12	х02	Теорети-ческие значения х0
1	2	3
2	5	6
3	3	4
4	7	6
5	2	4
6	6	8
7	4	6
8	9	9
9	8	9
10	4	5
итого
В среднем

Методика расчета:

Вывод:

Задание 2. Имеются следующие данные по семи однородным семьям (таблица). Найдите уравнение множественной регрессии, выражающее зависимость расходов на питание от дохода и размера семьи (связь линейная). Проанализируйте параметры уравнения множественной регрессии. Определите коэффициент множественной корреляции. Сделайте выводы.

Методика расчета:

Номер семьи	Доход на душу за месяц, тыс. руб. х1	Число членов семьи х2	Расход на питание за месяц, тыс. руб. х0	х0х1	х0х2	х0²	х1²	х1х2	х2²	Теоретические значения х0
1	4	1	1,5
2	5	1	2
3	8	2	4
4	7,5	2	3
5	9	3	4
6	10	3	5,5
7	10,5	4	6
Итого
В среднем

Методика расчета:

Вывод:

41