ФИЗИКА / 0837200_DA350_klimovskiy_a_b_kurs_lekciy_po_fizike_chast_2_elektromagnetiz

нас», что принято изображать точкой в кружочке

F2

(символическое изображение наконечни-

ка стрелы, направленного на нас). В нижней – «от

d1

нас», что изображается крестиком в кружочке

(символическое изображение

оперения

стрелы,

направленной от нас). Силы, действующие на

B

стороны квадрата, параллельные плоскости ри-

сунка, будут растягивать контур, но не будут его

d2

поворачивать.

Поворот рамки будут обеспечивать силы F1

F1

pm

и F2 , действующие на стороны контура,

перпен-

дикулярные плоскости рисунка. Вращающий момент этих сил M F1d1

F2 d2 , где

d

и

d

– плечи сил ( d

d

l

cosφ ).

1

2

2

1

2

Силы, действующие на стороны контура, являются силами Ампера. По величине

они равны F F IlB , следовательно, M 2IlB

l

cosφ . Так как l 2 S

– пло-

1

2

2

M ISBcosφ ,

щадь

плоской поверхности,

ограниченной

контуром,

то

причем

cosφ sin α , где

φ – угол между плоскостью контура и

вектором

B , а α – угол между нормалью к плоскости кон-

тура и B .

Направление

нормали

выбирается

п о

п р а в и л у

п р а в о г о б у р а в ч и к а : за положительное направление

нормали принимается направление поступательного движе-

ния буравчика, который вращается в направлении тока, те-

кущего в рамке.

Для контура с током вводят м а г н и т н ы й м о м е н т

p

m

ISn

– это вектор,

который по направлению совпадает с нормалью к контуру

n

и по величине равен

го момента

M pm B

.

Полученные для квадратной рамки выражения для магнитного момента pm

и

вращающего момента

M справедливы для любого плоского контура.

Заметим, что, как мы уже говорили, по вращающему действию магнитного поля

также можно определить индукцию магнитного поля. Например, так

B

M max

.

pm

Рамка с током будет поворачиваться в магнитном поле

F2

до тех пор, пока вращающий момент не станет равным нулю.

В этом случае магнитный момент pm будет направлен по

магнитному полю, так как тогда sin α 0 и M 0 . Следо-

pm

вательно, магнитное поле поворачивает магнитные мо-

менты так, чтобы они были направлены по полю.

Если магнитное поле неоднородно, то суммарная сила

B

Ампера не будет равна нулю и контур с током будет втяги-

ваться в область более сильного поля.

F1

ка с током –

Idl , принятый в качестве элементарного источника. Это определение эк-

вивалентно предыдущим.

По з а к о н у Б и о – С а в а р а

индукция

dB магнитного поля элемента тока

dl определяется:

0 I

dl , r

dB

.

dl

4

r 3

I

Направление вектора индукции совпадает с направле-

r

нием движения правого буравчика при его вращении от

A

вектора dl к r в сторону меньшего угла между векто-

рами. Величина индукции будет равна

dB

μ0 Idl sin α

dB

.

4πr 2

dl к точке, в которой определяется магнитная ин-

Здесь r – вектор, проведенный от

дукция; α – угол между векторами

dl и r ;

0

4 10 7

Гн/м – константа, которая

называется магнитной постоянной.

Закон Био–Савара является аналогом выражения для напряженности электриче-

ского поля точечного заряда в электростатике E

1

q

. Он определяет индукцию

4 0

r 2

n

B B1

B2

... Bn

или B Bi

.

i 1

B dB

.

индукция любого элемента

dl будет направлена перпендикулярно плоскости рисунка

«на нас». Все элементы dl

проводника будут создавать магнитные поля dB , направ-

ленные в одну сторону, тогда суммарный вектор B будет направлен в ту же сторону,

I

при этом его длина равна сумме длин векторов dB .

По принципу суперпозиции B

dB . С учетом со-

R

dB

направленности

всех

векторов

dB ,

dl

B

dB .

B

dB

r

μ0 Idl

По закону Био–Савара dB

, так как угол α

4π

r 2

90

sin α 1.

между r

и

dl равен

и

Тогда

dB

μ0 Idl

. Так как r

R const , то

B

μ0 I

dl , где

dl 2πR –

длина

4π

r 2

4π

R2

нитной индукцией

dB

μ0 Idl sin α

. Поле всех элементов будет направлено в одну

4π

r

2

сторону (на рисунке – «на нас»). Вектор индукции суммарного поля

B будет направ-

лен в ту же сторону и его длина равна сумме длин

B dB .

2

P

a

E

d d d

a

r

D

rd

A

dl

r

l

dB

1

dl

C

Тогда B

μ

0

Idl sin α

.

Переменными под знаком интеграла являются три ве-

2

4π

r

. Тогда r

PC

PE

a

Из прямоугольного треугольника ADC находим

.

sin α

sin α

dl

DC

AD

rdα

. Подставляя r , можем записать dl

adα

. Тогда

sin 2 α

sin α

sin α

α 2

μ

Iasin α sin 2

α

μ

α 2

μ

I

α

B

0

dα

0

sin αdα

0

cosα

2

4π

sin 2 α a2

4πa

4πa

α1

α1

α1

Если же проводник бесконечный, то α1 0 и

cosα1 1, а

α2 π и

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

μ0 I

B 2πa

,

где a – расстояние от проводника.

3. Соленоид – свернутый в спираль изолированный проводник, по которому те-

чет электрический ток. Соленоид характеризуют числом витков n

N , приходящих-

L

ся на единицу длины соленоида, где N – полное число витков, L – длина соленоида.

R

1

r1

r

r

2

2

O1

A

O2

l

B

dl

L

Магнитная индукция B в любой точке A , лежащей на оси соленоида O1O2 , на-

правлена вдоль оси по правилу правого буравчика и численно равна алгебраической

сумме индукций магнитных полей, создаваемых в точке

A всеми витками, поскольку

магнитные поля витков сонаправлены.

Проведем из точки A к какому-либо витку вектор r ,

образующий с осью O1O2

угол . Индукция

B1

магнитного поля витка с током в точке A

численно равна

(получить из закона Био–Савара самостоятельно)

B1

μ0

IR2

μ0

IR2

.

2

r3

2 R2 l 2 3

На малый участок длины соленоида

dl приходится ndl витков, создающих в

точке A магнитное поле, величина индукции которого

dB

μ0

IR2

2

R2 l 2 3 ndl .

Выразим переменные величины

l

и

R2 l 2 r

через одну переменную –

угол α . Как видно из рисунка, расстояние l Rctgα , откуда dl Rdα . Длина

sin 2 α

R

2 l 2

R

. Тогда получим

вектора r равна r

sin α

dB

μ

0

IR2

sin3 α

n

Rdα

1

μ

Insin αdα .

0

2

R

3

sin

2

α

2

α

B

1

μ0

nI 2sinαdα .

2

α1

После интегрирования найдем магнитную индукцию B в произвольной точке

оси соленоида

B

1

μ

nI (cosα

cosα )

,

2

0

2

1

где

2 1. Максимальное значение индук-

ции,

достигаемое

в

центре

соленоида

при

cosα2 cosα1

L / 2

,

будет

L / 2 2

R2

равно

Bmax

μ0nIL

.

4R2

L2

Снаружи соленоида поле будет сильно убывать с удалением от соленоида. Его мы

находить не будем.

Если длина соленоида во много раз больше радиуса его витков ( L R ), то со-

леноид можно считать бесконечно длинным α1 π и α2

0 . Поле в н у т р и бес-

Если

точка A

находится на

одном

из концов длинного соленоида, либо

α1 π / 2

и α2 0 ,

либо α1 π

и α2 π / 2, то индукция магнитного поля в

т о ч к а х о с и длинного соленоида,

с о в п а д а ю щ и х с е г о к о н ц а м и , равна:

B

μ0nI

.

2

силу взаимодействия, с которой один проводник действует на другой.

Пусть dF2 – сила, с которой первый проводник действует на элемент

dl2 второ-

μ0 I1

го проводника. По закону Ампера dF2

I2 dl2

, B1 . Здесь

B1

– индукция

2π b

dF1

μ0 I1I2

сила dF

dF

, равная по величине

,

2

1

dl1

2πb

вовать сила Лоренца FM

q V , B , равная по величине FM qVBsin α .

Пусть заряженная частица движется вдоль линий индукции магнитного поля.

α 0 или

Тогда угол между векторами скорости V

частицы и индукции B будет

Пусть теперь частица, имеющая заряд q , движется

перпендикулярно линиям магнитной индукции одно-

B

родного поля. Тогда сила Лоренца будет равна по вели-

FM

чине FM

q

VB и направлена перпендикулярно векто-

V

рам V

и B . Движение частицы будет происходить в

r

m

V

.

q

B

В однородном стационарном поле ( B const ) величина скорости частицы не

2πr

2π

m

T

.

V

B

q

под углом α

к вектору индукции B . Разложим вектор скорости V на две составляю-

где V| | V cosα

–

со-

щие V

V| |

V ,

V

V

ставляющая скорости, параллельная индук-

V V sin α

V| |

ции B ,

– составляющая, перпен-

r

дикулярная B .