ФИЗИКА / 0837200_DA350_klimovskiy_a_b_kurs_lekciy_po_fizike_chast_2_elektromagnetiz

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Подставив полученные выражения в закон Ома, получим дифференциальное уравнение второго порядка вида

курса физики, когда рассматривали затухающие механические колебания. Его решением при слабом затухании ( β ω0 ) будет функция

x(t) Ae βt sin ωt α0 ,

Сравнивая уравнение, полученное для колебательного контура, с уравнением, по-

лученным ранее, видим, что для колебательного контура коэффициент затухания

ем полученного для колебательного контура дифференциального уравнения будет функция вида

зависят от способа возбуждения колебаний, то есть от начальных условий.

Таким образом, при подключении заряженного конденсатора к цепи, состоящей из последовательно соединенных индуктивности и резистора, заряд на обкладках конденсатора будет совершать затухающие колебания, если сопротивление резистора не слишком велико (затухание мало).

С увеличением сопротивления R контура период колебаний в нем возрастает, и

Если сопротивление велико, то в контуре будет происходить апериодический процесс убывания заряда на конденсаторе. Мы далее в этой теме будем говорить только о коле-

бательных процессах, то есть будем считать, что затухание мало R 2L / C .

40

Электромагнитные колебания

Таким образом, начальные фаза и амплитуда колебаний в контуре могут быть выражены через параметры контура: емкости, индуктивности и сопротивления. Причем вид выражений будет разным в зависимости от способа возбуждения колебаний (начальных условий).

Если сопротивление R контура уменьшить, то затухание колебаний в нем также уменьшится. В пределе, при R 0 (β 0) , такой контур называют идеальным колеба-

тельным контуром, свободные электромагнитные колебания в контуре становятся незатухающими. В идеальном колебательном контуре заряд конденсатора, разность потенциалов между его обкладками, сила тока в цепи и ЭДС самоиндукции изменяются

по гармоническому закону

41

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

ε qmω02 sin ω0t α0 qmω02 sin ω0t α0 π ,

где ω0 1/ LC – циклическая частота свободных незатухающих электромаг-

нитных колебаний в контуре. Период свободных незатухающих колебаний опреде-

ляется формулой Томсона (J.-J. Tomson, 1856–1940)

T (2π / ω0 ) 2πLC .

Как видим из записанных выражений, сила тока отстает по фазе от разности по-

тенциалов между обкладками конденсатора на π / 2 и опережает ЭДС индукции тоже на π / 2 .

Амплитуда Im силы тока и амплитуда m разности потенциалов обкладок кон-

Величина L / C называется волновым сопротивлением контура.

Полная электромагнитная энергия контура в любой момент времени будет равна суммарной энергии, запасенной в конденсаторе и катушке индуктивности

Электрическое сопротивление R любого реального колебательного контура отлично от нуля. Поэтому, как мы получили, свободные электромагнитные колебания в реальном колебательном контуре постепенно затухают. Для получения незатухающих электромагнитных колебаний необходимо подводить энергию, компенсирующую потери на джоулево тепло. Если эту энергию будет поставлять источник переменной ЭДС, мы будем иметь дело уже не со свободными, а с вынужденными электромагнитны-

ми колебаниями.

Рассмотрим простейший случай вынужденных электромагнитных колебании в контуре, происходящих под действием синусоидальной внешней ЭДС

ε εm sin t ,

где εm – амплитуда ЭДС, Ω – циклическая частота.

Для получения уравнения вынужденных электромагнитных колебаний необходимо в закон Ома, записанный для контура, подставить суммарную ЭДС, равную сумме

вынуждающей ЭДС ε εm sin t и ЭДС самоиндукции εi dLdt :

42

Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения мы уже рассмотрели – это затухающие колебания или апериодическое убывание заряда конденсатора. В любом слу-

чае, спустя время t τ β1 , этим слагаемым решения можно пренебречь. Тогда ре-

шением уравнения останется только частное решение неоднородного уравнения, которое будем искать в виде

Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение, получим

43

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Мы получили, что амплитуда Im и фаза α вынужденных колебаний зависят от

частоты Ω вынуждающей ЭДС.

Зависимость амплитуды колебаний от частоты называется амплитудно– частотной характеристикой (АЧХ).

при одном и том же значении Ω p циклической частоты вынуждающей ЭДС, равном

При Ω Ω p полное сопротивление контура минимально и равно его активному

сопротивлению. В этом случае 0 – сила тока совпадает по фазе с вынуждающей ЭДС.

Явление возрастания амплитуды силы тока в колебательном контуре при при-

44

Электромагнитные колебания

Колебательный контур с переменной внешней ЭДС представляет собой цепь переменного тока. Для цепей переменного тока законы Ома и Джоуля–Ленца применительно к мгновенным значениям приложенных напряжений и ЭДС, токов и мощностей не справедливы. Чтобы основными законами электрического тока можно было пользоваться для цепей переменного тока, кроме приложенного напряжения, нужно учитывать возникающую в цепи переменного тока ЭДС самоиндукции.

Действительно, мгновенное значение внешней ЭДС не пропорционально мгновенному значению силы тока, так как ток отстает от приложенной ЭДС по фазе. Ам-

плитудные значения – пропорциональны, а мгновенные – нет.

З а к о н О м а д л я п е р е м е н н о г о т о к а применим только для амплитуд-

ных значений

εm Im Z ,

где Z – полное сопротивление цепи переменного тока.

Для цепи с последовательно включенными элементами мы получили, что

Напряжения на емкости и индуктивности находятся в противофазе, следователь-

но, X xL xC .

Напряжения на активном сопротивлении R и на реактивном сопротивлении X

значение.

Найдем среднее значение мощности P Im cosΩt εm cos(Ωt α) . Учиты-

вая, что cosβ cosγ 12 cos β γ cos β γ , получим

P 12 Imεm cos(2Ωt α) cosα 12 Imεm cos(2Ωt α) 12 Imεm cosα .

45

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Поскольку cos(2Ωt α) 0 , а cosα cosα , получаем окончательное выражение для з а к о н а Д ж о у л я – Л е н ц а д л я ц е п е й п е р е м е н н о г о т о к а

P 12 Imεm cosα .

Множитель cosα , называемый к о э ф ф и ц и е н т о м м о щ н о с т и , отражает сдвиг фаз между внешней ЭДС и током.

Тогда Im R εm cosα и

P 12 Im2 R .

В законе Джоуля–Ленца, записанном через амплитудные значения переменного тока, появился коэффициент 12 , то есть выражение закона получилось разным для по-

стоянного и переменного токов. Это весьма неудобно. Чтобы избежать этого неудобства, для характеристики переменного тока и переменного напряжения вместо амплитуд-

ных значений используют эффективные (действующие) значения тока и напряжения:

для которых, с одной стороны, закон Ома справедлив так же, как и для амплитудных значений

I эфZ U эф ,

а, с другой стороны, закон Джоуля–Ленца может быть записан в таком же виде, как и для постоянного тока. Действительно, закон Джоуля–Ленца для эффективных значений имеет вид

P IэфUэф cosα .

С учетом закона Ома имеем P Iэф2 Z cosα . Поскольку R Z cosα , то для эффек-

тивного значения силы тока можем записать закон Джоуля–Ленца в окончательном виде

Если цепь содержит только реактивное сопротивление ( R 0 ), то cosα 0 и средняя мощность будет равна нулю при любых токах и напряжениях. Если коэффициент мощности мал, то для передачи мощности при заданном напряжении необходимо увеличивать силу тока, что либо приведет к увеличению джоулевых потерь, либо, чтобы этого не происходило, потребует увеличения сечения проводов, что повышает стоимость линий электропередач. Поэтому на практике в качестве наименьшего допустимого значения принимают cosα 0,85 .

46

Волновая физика

Физика волновых процессов

И в первой части курса физики, и в предыдущем разделе мы рассматривали процессы, периодически повторяющиеся во времени. Это механические колебания, в первой части, и электромагнитные колебания, только что нами рассмотренные.

Если колебательный процесс происходит в пространстве, части которого «связаны» друг с другом, то в периодический процесс вовлекается все большая область пространства. В этом случае говорят о распространении колебаний или о волновом процессе. Волновые процессы встречаются во многих областях физики. Это и волны на воде, и звуковые волны, и свет. Как мы увидим позже в этой же части курса, электроны

идругие частицы в некотором отношении тоже подобны волне.

Кизучению волновых процессов мы и переходим в данном разделе. Сначала мы рассмотрим общие определения волновой физики, применимые для всех волн, при этом основное внимание мы будем уделять электромагнитным волнам, частным случаем которых является свет. Далее на примере световых волн рассмотрим два основных явления волновой физики – интерференцию и дифракцию волн. И закончим раздел изучением основных явлений, возникающих при взаимодействии света с веществом.

Тема: Волновая физика

Вопросы:

1.Волновые процессы. Определение.

2.Классификация волновых процессов.

3.Трехмерное и одномерное волновое уравнение в однородной изотропной среде.

4.Характеристики волновых процессов

5.Электромагнитные волны. Свойства. Уравнение и график монохроматической плоской бегущей волны.

6.Понятие о световых волнах. Характеристики. Оптический показатель преломления.

Мы знаем, что колебательный процесс – это процесс, при котором изменение параметров, описывающих состояние системы, периодически повторяется со време-

нем. Колебательный процесс, или колебание, происходит в ограниченной области пространства. Он характеризуется периодом T или частотой колебаний .

В отличие от колебаний в о л н о в о й п р о ц е с с является периодически повто-

ряющимся процессом, который распространяется в пространстве с некоторой конечной скоростью. Другими словами, волновой процесс или в о л н а – это процесс распространения колебаний. При этом вещество (или поле) не переносится волной, а

только вовлекается в колебательный процесс, происходящий относительно равновесных состояний. В волновом процессе переносится энергия и импульс.

Волновой процесс характеризуется ч а с т о т о й (распространяющихся) к о -

л е б а н и й ν (циклической частотой 2 ) и с к о р о с т ь ю р а с п р о с т р а - н е н и я (колебаний) V .

В о л н о в ы м ф р о н т о м называется поверхность, которая разделяет пространство на две области: в одной из них колебания уже происходят, до второй области колебания еще не дошли.

47

ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

В о л н о в о й п о в е р х н о с т ь ю называют поверхность, в точках которой колебания имеют одинаковую фазу.

Форма волновой поверхности в однородных изотропных средах совпадает с формой волнового фронта.

Рассмотрим классификацию волн, исходя из определения волны.

По характеру периодического процесса волны бывают с к а л я р н ы е , когда невозможно указать пространственное направление колебаний (волна температуры) и

ве к т о р н ы е , когда колебания происходят в определенном направлении (колебание частиц воздуха в звуковой волне). При этом сам колеблющийся параметр также может быть скалярным (давление в звуковой волне) или векторным (напряженность электрического поля в электромагнитной волне).

По частотным характеристикам волны делятся на две группы:

По природе волны делятся на:

м е х а н и ч е с к и е – распространение упругих (механических) колебаний вещества (например, звук).

направление распространения волны

направление колебаний

Среди волн по форме волнового фронта выделяют:

с ф е р и ч е с к и е в о л н ы – волновой фронт является сферой. Например, излучение точечного источника в однородной изотропной среде.

Волновой фронт

48

Волновая физика

п л о с к и е в о л н ы – волновой фронт является плоскостью.

Волновой

фронт

Направление

распространения

волны

Волновые процессы описываются волновым уравнением, решением которого они являются.

Вспомним колебания. Уравнение свободных гармонических колебаний имеет вид

В о л н о в о е у р а в н е н и е имеет несколько похожий вид, оно представляет со-

бой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных

Здесь греческой буквой ξ («кси») обозначен колеблющийся параметр, – дифферен-

циальный оператор Лапласа (P. Laplace, 1749–1827), для которого используется гре-

ческая буква «дельта» (не путать с приращением). Поскольку ξ(r ,t) является

функцией нескольких переменных, уравнение записывается не в полных производных, как для колебаний, а в частных производных.

Используемый дифференциальный оператор Лапласа можно представить через

другой дифференциальный оператор 2 . Дифференциальный оператор («набла») определяется в декартовой системе координат как формальный вектор с проек-

функцию можно записать

где i , j, k – орты декартовой системы координат. Оператор ставит в соответствие произвольной скалярной функции φ векторную функцию с проекциями на оси декар-

φ φ φ

товой системы координат x , y , z .

В развернутом виде в декартовой системе координат, учитывая, что

ξ2ξ 2ξ 2ξ , трехмерное волновое уравнение записывается следующим

x2 y2 z 2

образом:

49