ФИЗИКА / 0837200_DA350_klimovskiy_a_b_kurs_lekciy_po_fizike_chast_2_elektromagnetiz

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

E2 E1 hv . Зная энергии E1 и E2 для ртути, можно вычислить длину волны излучения, которая оказывается в полном согласии с экспериментом.

Выдающийся успех теории Бора заключается в том, что она объясняла линейчатый спектр атомов и точно предсказывала для атома водорода длины волн излучения. Кроме того, теория Бора также снимала вопрос о стабильности атомов.

Вместе с тем эта теория имела свои недостатки:

1.Теория Бора не является ни последовательно классической, ни последовательно квантовой. Рассмотрение Бора по существу является классическим, но Бор сделал ряд допущений, противоречащих классическим представлениям.

2.Теория Бора не объясняет интенсивность линий. В спектре излучения даже атома водорода все линии имеют разные интенсивности, о которых нет даже речи в теории Бора.

3.Теория Бора не объясняет тонкую структуру спектра. В спектре водорода, кроме основных линий, удовлетворяющих формуле Бальмера, экспериментально наблюдались существенно более слабые по интенсивности линии, наличие которых теория Бора не объясняет.

4.Теория Бора не описывает более сложные объекты, чем водородоподобные атомы.

Постепенно становилось очевидно, что теория Бора, правильно объяснившая одни факты и неспособная истолковать целый ряд других, представляет собой лишь переходный этап на пути создания последовательной теории атомных и ядерных явлений.

В настоящее время теория Бора имеет только историческое и познавательное значение, поскольку просто и наглядно вводит квантовые представления. Ряд результатов теория Бора предсказывает неправильно. Как оказалось, неверно и само условие квантования, лежащее в основе теории. Но многое выяснилось лишь после создания новой последовательной квантовой теории – квантовой механики, о которой мы поговорим в следующей теме.

110

Элементы квантовой механики

Тема: Элементы квантовой механики

Вопросы:

1.Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц. Гипотеза де Бройля.

2.Соотношение неопределенностей Гейзенберга.

3.Временное и стационарное уравнение Шрѐдингера.

4.Физический смысл волновой функции.

5.Решение уравнений Шрѐдингера для одномерной бесконечной потенциальной ямы. Собственные значения энергии.

6.Туннельный эффект.

В1923 году Луи де Бройль (L. de Broglie, 1892–1987) расширил представления о корпускулярно-волновом дуализме. Он задался целью определить, какой физический

смысл имеет скорость фотона V λhm с точки зрения волнового описания. Причем он рассмотрел фотон как частицу, имеющую массу покоя (отличную от нуля), правда, взяв ее за пределами экспериментального обнаружения m0 10 50 кг . Ему пришлось так

поступить, поскольку в то время его оппоненты не признали бы частицей объект с нулевой массой. В результате де Бройль обнаружил, что таким образом определенная скорость частицы в волновой теории тоже имеет физический смысл – это групповая скорость волнового пакета (волнового импульса). Но поскольку его частица имела ненулевую массу, то тем самым он фактически доказал наличие волновых свойств у любого материального объекта, а не только у фотона, поскольку все выводы де Бройля были применимы к любому объекту. Из полученного результата де Бройль сделал предположение о к о р п у с к у л я р н о – в о л н о в о м д у а л и з м е всей м а т е р и и .

Сформулируем основной результат де Бройля, называемый г и п о т е з о й д е Б р о й л я – поведение частицы массой m , движущейся со скоростью V , может быть описано как поведение волны с длиной волны , определяемой по формуле де Бройля

λ mVh hp .

То есть, любой объект с массой m и скоростью V , обладает свойствами некоторой волны, которая получила название – в о л н ы д е Б р о й л я .

Оценим величину длины волны де Бройля.

Сначала рассмотрим макрообъект, в качестве которого возьмем пылинку массой

m 10 5 кг , падающую со скоростью V 10 2 м / с . Волна де Бройля пылинки будет иметь длину волны

λ 6,6 10 34 ~ 10 26 м . 10 5 10 2

Чтобы обнаружить волновые свойства пылинки, требуется дифракционная решетка с периодом порядка 10 26 м . Но, поскольку минимальный размер ядра 10 15 м , а рас-

стояние между атомами в твердых телах 10 8 м , такую решетку создать невозможно, и волновые свойства пылинки не могут быть экспериментально обнаружены.

111

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Теперь найдем длину волны де Бройля для микрообъекта, в качестве которого

Чтобы обнаружить волновые свойства электрона, необходима дифракционная решетка

с периодом решетки d ~ 10 10 10 8 м. Такой дифракционной решеткой может быть любой кристалл и, если электрон действительно обладает волновыми свойствами, то дифракция электронов должна наблюдаться экспериментально.

Решающий эксперимент был проведен К. Дж. Дэвиссоном (C. Davisson, 1881– 1958) и Л. Х. Джермером (L. Germer, 1896–1971), которые в то время занимались исследованием дифракции рентгеновских волн, имеющих длину волны такого же порядка, что и дебройлевская волна электрона. Поэтому к ним и обратился А. Эйнштейн за экспериментальным подтверждением гипотезы де Бройля, которую он сразу очень высоко оценил. В 1927 году дифракция электронов была обнаружена, и измеренная в экспериментах Дэвиссона–Джермера длина волны совпала с дебройлевской длиной волны.

Рассмотрим, каким образом была получена дифракция электронов. В электронной пушке ЭП создавался поток электронов, энергия и скорость которых определялись ускоряющим напряжением внутри пушки. Узкий пучок электронов с заданной скоростью направлялся на заземленный монокристалл ни-

электронов.

Применяя те же методы, которые они использовали для наблюдения дифракции на монокристалле рентгеновских лучей, Дэвиссон и Джермер экспериментально определили длину волны рассеянных электронов по распределению интенсивности отраженного монокристаллом электронного пучка.

Вычислим дебройлевскую длину волны электронов в опытах Дэвиссона и Джер-

Подставляя ее в выражение для длины волны де Бройля, найдем

112

по которому можно вычислить дебройлевскую длину волны электрона

λ 1,225φ нм.

Экспериментальные значения λ , полученные в опытах Дэвиссона и Джермера, находились в полном согласии с вычисленными по полученной формуле.

В том же 1927 году Дж. П. Томсон (сын открывателя электрона как частицы, Дж. Дж. Томсона, автора первой модели атома), используя другую схему эксперимента, также обнаружил дифракцию электронов, еще раз доказав волновую природу электрона.

Таким образом, гипотеза де Бройля, заключающаяся в утверждении о корпуску-

лярно-волновом дуализме вещества, получила экспериментальное подтверждение.

Отметим, что волны де Бройля не являются электромагнитными волнами. Эти волны связаны с движущимися частицами вещества, являются квантовыми по природе и не имеют аналога в классической физике.

Корпускулярно-волновой дуализм материальных объектов вносит существенные ограничения в применение для описания движения объектов понятий координат и импульса в классическом смысле. Действительно, как можно говорить, например, о координате волны. Как следует из корпускулярно-волнового дуализма материи, при описании не только света, но и поведения любых объектов, которые мы привыкли считать материальными телами, необходимо применять принцип дополнительности Бора, о котором мы говорили при рассмотрении корпускулярно-волнового дуализма света. Сформулируем его применительно к веществу. Для объяснения данных эксперимента необходимо использовать либо волновые, либо квантовые (корпускулярные) свойства вещества, но не те и другие одновременно. Оба этих способа описания (волновой и квантовый) дополняют друг друга.

Количественно ограничения описания поведения объектов выражаются соотно-

шениями неопределенностей Гайзенберга. (W. Heisenberg, 1901–1976) – важными соотношениями, устанавливающими границы волнового и корпускулярного способов описания.

Посмотрим, в чем заключаются эти ограничения.

Допустим, что волна, описывающая частицу, монохроматична, следовательно, ей соответствует точное значение длины волны , и она имеет бесконечную протяженность. Тогда положение частицы, соответствующей этой волне, абсолютно не определено.

Если волна немонохроматична, и волновой пакет (цуг) имеет вдоль оси Оx конечные размеры x , то есть положение частицы, соответствующей волне, по оси Оx может быть установлено с неопределенностью x , то указать длину этой волны мы можем только с некоторой погрешностью λ , поскольку ограниченный волновой им-

113

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Допустим теперь, что частица имеет точную координату x , то есть ей соответствует волновой импульс бесконечно малой ширины. Тогда входящие в импульс волны будут иметь длины волн, значения которых находятся в диапазоне 0 λ .

Это следствия корпускулярно-волнового дуализма материи.

Получается, что, если мы знаем точно импульс частицы p (а значит, длину вол-

частица находится, принципиальная неточность определения координаты будет равна

x

Если мы точно знаем положение частицы x , то есть неопределенность координаты x 0, то в принципе мы не можем знать импульс частицы (или длину волны), то есть неопределенность импульса p .

Наиболее полно и точно этот факт был выражен В. Гайзенбергом в с о о т н о -

ше н и я х н е о п р е д е л е н н о с т е й

xpx h

2π

ypy h

2π

z pz h

2π

Обобщая все записанные соотношения, можно сказать, произведение неопределенно-

стей значений двух сопряженных переменных, каковыми, в частности, являются координата и проекция импульса на эту же ось, не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка. Это утверждение носит название принципа (соотноше-

ния) неопределенностей Гайзенберга.

пульса и координаты для макротел оказываются пренебрежимо малыми, много меньшими экспериментальных погрешностей реальных измерений. Например, для мяча массой m 0,5 кг , летящего со скоростью V 30 м / c , которая пусть определена с

точностью V 0,1 м / с , неопределенность координаты будет равна

Это существенно меньше, чем любая разумная погрешность измерения координаты мяча. Таким образом, принцип неопределенности позволяет макрообъекты описывать как вполне классические частицы определенных размеров, как мы и поступаем в классической физике и обыденной жизни.

В то же время для микрообъектов ограничения, устанавливаемые соотношениями неопределенностей, весьма существенны. Для электрона массой m 9,1 10 31 кг , на-

ходящегося в атоме размером x 10 10 м (порядка Боровского радиуса), неопределенность определения скорости V будет равна

114

Элементы квантовой механики

Это сравнимо с самой скоростью электрона, которая на первой орбите в атоме водорода равна V1 2 106 м / c . Таким образом, принцип неопределенности не позво-

ляет описывать микрообъекты как привычные для нас классические частицы. Микрообъектами являются любые элементарные частицы (электроны, протоны,

нейтроны, фотоны и др.), а также сложные частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов и т. п.). Всякий микрообъект представляет собой образование особого рода, сочетающее в себе свойства и частицы, и волны. Он не способен воздействовать на наши органы чувств – ни видеть, ни осязать его нельзя. Микротела «не похожи ни на что из того, что нам хоть ко- гда-нибудь приходилось видеть». Сочетая в себе свойства частицы и волны, микротела не ведут себя ни как волны, ни как частицы. Отличие микрочастиц от волны заключается в том, что она всегда обнаруживается как неделимое целое. Никто никогда не наблюдал, например, половину электрона.

Вернемся к соотношениям неопределенности. Сопряженными переменными также являются энергия и время, следовательно, нельзя точно знать энергию микрообъек-

E t 2hπ .

Это еще одно из соотношений неопределенности Гайзенберга.

Накапливающиеся «нагромождения» физических представлений, которые, может быть, и верно отражали важные, но частные результаты, привели к тому, что в начале 20-х годов многие физики стали все больше осознавать необходимость создания целостной и последовательной теории. Практически сразу после появления гипотезы де Бройля о волнах материи, в 1925-27 годах такая теория была создана Вернером Гайзенбергом и Эрвином Шрѐдингером (E. Schrödinger, 1887–1961) – к в а н т о в а я м е х а -

н и к а .

Построенная В. Гайзенбергом матричная квантовая теория основана на формальном аппарате математических операторов. Она является инструментом физиковтеоретиков. Мы будем рассматривать более наглядную и не очень формальную волновую квантовую теорию Э. Шрѐдингера. Эквивалентность обеих теорий была доказана Э. Шрѐдингером. Шрѐдингер был осведомлен и о новых веяниях матричной теории, основные идеи которой В. Гайзенберг изложил в 1925 году. Но сложные методы матричной механики и недостаток наглядности не привлекали Шрѐдингера. Его на создание квантовой теории вдохновила гипотеза де Бройля, с которой он познакомился в

1925 году.

Шрѐдингер, отталкиваясь от закона распространения световой волны в среде с меняющимся показателем преломления, поставил себе задачу получить волновое уравнение для волны де Бройля. Такое волновое уравнение в 1926 году им было найдено

ψ 2m2 E U ψ 0 .

115

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Это было только началом новой теории. Это уравнение теперь носит название

стационарного уравнения Шрёдингера.

Как и уравнения движения Ньютона, лежащие в основе классической механики и поэтому не выводимые, уравнение Шрѐдингера в квантовой механике постулируется. Справедливость уравнения Шрѐдингера доказывается тем, что выводы квантовой механики, полученные с помощью этого уравнения в атомной и ядерной физике, находятся в полном согласии с опытом.

Уравнение Шрѐдингера, записанное в самом общем виде, называется н е с т а -

ц и о н а р н о е или в р е м е н н ò е у р а в н е н и е Ш р ё д и н г е р а и имеет следую-

щее выражение:

i 1 – мнимая единица.

Уравнение справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью

( с – скорость света в вакууме). В релятивистской области, при V c , вместо уравнения Шрѐдингера нужно использовать более сложное релятивистское уравнение Дирака, рассмотрение которого выходит за рамки нашего курса.

Уравнение Шрѐдингера дополняется важными условиями, которые накладываются на функцию Ψ(x, y, z,t) , являющуюся решением уравнения:

1) функция Ψ должна быть конечной, непрерывной и однозначной;

Ψ 2 x y z должен быть конечным (область определения интеграла по всем переменным от до ).

Третье условие относительно интегрируемости Ψ 2 связано с тем, что физический

смысл имеет не сама функция Ψ , а квадрат ее модуля Ψ 2 .

Основное уравнение носит название в р е м е н н ò г о уравнения Шрѐдингера, потому что оно содержит производную от функции Ψ по времени. Однако для большого числа физических явлений, происходящих в микромире, например, для описания поведения электрона в атоме, в ряде случаев важно уметь находить стационарное решение уравнения Шрѐдингера, не содержащее времени. Для решения этой задачи можно ис-

116

Элементы квантовой механики

пользовать стационарное уравнение Шрѐдингера, в котором исключена зависимость Ψ от времени.

Покажем, как получается стационарное уравнение из временнòго. Будем искать решение нестационарного уравнения в виде произведения

(x, y, z,t) (x, y, z) (t),

в котором разделены переменные – ψ является функцией координат, – функцией

только времени. Подставляя Ψ во временное уравнение и производя дифференцирование, получим

i 2 U (x, y, z) .t 2m

Разделим правую и левую части уравнения на произведение

Полученное уравнение имеет ненулевое решение при единственном условии, когда обе части равны постоянной величине, поскольку слева стоит выражение, зависящее от пространственных переменных x, y,z , а справа - от времени t . Обозначим эту

постоянную величину, имеющую смысл энергии, через E , тогда

Это и есть с т а ц и о н а р н о е у р а в н е н и е Ш р ё д и н г е р а .

Введенная Шрѐдингером некоторая волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрѐдингера, вообще говоря, является комплексной функцией, и это уже не волна де Бройля, от которой отталкивался Шрѐдингер и которая на самом деле физического смысла не имеет.

Далее мы будем рассматривать только стационарное уравнение Шрѐдингера и говорить о стационарных волновых функциях ψ , являющихся его решением.

Волновая функция ψ является физической величиной, которая вместе с энергией

Е полностью определяет состояния квантового объекта, то есть любой частицы, для описания которой используется квантовая механика. Физический смысл волновой функции долгое время был предметом дискуссии физиков. Сам Шрѐдингер предлагал в течение одного года три различных варианта ее понимания.

Принятую сейчас интерпретацию ψ -функции дал Макс Борн (M. Born, 1882– 1970) в 1926 г. Согласно Борну квадрат модуля волновой функции частицы опреде-

ляет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема

dV

dP ψ 2 dV .

117

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Интеграл от этого выражения должен равняться единице (взятый по всему объему)

dP ψ 2dV 1 – условие нормировки.

Этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, то есть вероятность достоверного события, которая, естественно, равна единице. В соответствии с интерпретацией Борна, квадрат модуля ψ -функции является

плотностью вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

ц и о н а р н ы м и с о с т о я н и я м и .

Из физического смысла волновой функции следует, что квантовомеханическое описание имеет статистический характер. Оно не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства. На первый взгляд может показаться, что квантовая механика дает значительно менее точное и менее полное описание движения частицы, чем классическая механика, которая определяет «точные» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако в действительности же это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц, она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории не имеют смысла.

В одномерном случае волновая функция зависит только от одной координаты,

допустим x , ψ ψ(x) , тогда ψ x 2 – плотность вероятности обнаружения частицы в

точке с координатой x .

Вероятность обнаружения электрона dP в бесконечно малой окрестности dx точки x – x; x dx равна

dP ψ(x) 2 dx .

Чтобы найти квантовую частицу в конечной области пространства, необходимо сложить вероятности dP ее нахождения в бесконечно малых областях внутри конечной области. Для одномерного случая P P x1, x2 – вероятность обнаружения электрона в области, ограниченной координатами x1 и x2 , по определению будет равна

Рассмотренная интерпретация волновой функции носит название копенгагенской интерпретации.

Сам Шрѐдингер предлагал другую интерпретацию. Электрон представлялся ему электрически заряженным облаком вокруг ядра. По представлениям Шрѐдингера, фи-

зический смысл имело выражение e ψ 2 , являющееся плотностью заряда электрона.

Тогда полный заряд электрона равен

e e ψ 2dV .

118

Элементы квантовой механики

В окончательном сформулированном виде свое понимание физического смысла волновой функции Шрѐдингер предложил уже после принятия копенгагенской интерпретации. Кроме того, полуклассическое представление Шрѐдингера расходилось с квантовой идеологией. И хотя в физике твердого тела используют модели, основанные на интерпретации Шрѐдингера, тем не менее, общепринятой считается копенгагенская интерпретация.

Теперь перейдем к решению стационарного уравнения Шрѐдингера. Рассмотрим простой случай электрона в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Для определения состояния электрона найдем значения энергии и соответст-

вующие им волновые функции для частицы, находящейся в глубокой одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Поскольку яму считаем одномер-

Шрѐдингера

d 2ψ 2m (E U )ψ 0 , где ψ ψ(x) . dx2 2

Вне потенциальной ямы частица находиться не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы тождественно равна нулю. Соответственно, и функция ψ

за пределами ямы равна нулю. Из требования непрерывности волновой функции следует, что ψ должна быть равна нулю и на границах ямы, то есть

ψ(0) ψ(a) 0.

Это краевое условие, которому должны удовлетворять волновые функции электрона,

Далее должно выполняться второе краевое условие (a) 0 , откуда

119