ФИЗИКА / 0837200_DA350_klimovskiy_a_b_kurs_lekciy_po_fizike_chast_2_elektromagnetiz

где D0 – постоянный коэффициент, близкий к единице.

Мы рассмотрели основные понятия и определения квантовой механики и применение квантовомеханического описания для простых случаев. Результаты решения уравнения Шрѐдингера для более реальных моделей мы рассмотрим в следующей теме.

121

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Тема: Физика атомов и молекул

Вопросы:

1.Решение уравнения Шрѐдингера для атома водорода.

2.Полная система квантовых чисел.

3.Распределение элементов в атоме по состояниям. Принцип Паули.

4.Электронная конфигурация атома.

5.Периодическая система химических элементов Менделеева.

6.Характеристическое рентгеновское излучение. Закон Мозли.

7.Молекулярные спектры излучения.

8.Электронные состояния молекул. Полная энергия молекулы.

Мы уже рассматривали строения атома, используя теорию Бора. С помощью этой теории мы находили возможные значения энергии электрона в атоме водорода.

Квантовая теория более полно и точно описывает строение атомов. Согласно ее результатам не существует вполне определенных боровских орбит. В силу волновой природы электрон «размазан» по пространству атома. Характеристики «электронного облака» в атоме водорода можно найти, решив уравнение Шрѐдингера для атома водорода, где электрон находится в электрическом поле ядра и имеет потенциальную энергию

Для атома водорода Z 1, для водородо- r подобных атомов Z – заряд ядра. Это задача с бесконечной ямой (яма радиально

(цилиндрически) симметричная). Стационарное уравнение Шрѐдингера

для водородоподобных атомов будет иметь

Как следует из теории дифференциальных уравнений, записанное дифференциальное уравнение второго порядка имеет решение при любых положительных значениях E (при этих значениях энергии электрон находится вне атома) и не при любых отрицательных значениях E (электрон в атоме), а только при некоторых значениях En ,

которые зависят от некоторого целого числа n , получаются в процессе решения урав-

нения и называются собственными значениями.

С о б с т в е н н ы е з н а ч е н и я э н е р г и и электрона в атоме водорода при решении уравнения Шрѐдингера получаются такие же, что и в теории Бора

Но при этом, если у Бора дискретность энергии получалась из некоторого непонятного условия квантования, здесь дискретность получается непосредственно при решении уравнения Шрѐдингера.

122

Физика атомов и молекул

Решать уравнение Шрѐдингера мы не будем. Рассмотрим уже полученное (известное) решение.

Волновая функция, описывающая состояния электрона в атоме, то есть яв-

ляющаяся решением записанного уравнения для водородоподобных атомов, зависит от трех переменных (от расстояния до центра r атома и двух углов Θ,φ ), и от трех целых

орбитальный момент (момент импульса электрона)

то есть различаются значениями орбитальных моментов и их проекций. В частности,

и так далее.

123

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Так распределены состояния в атоме водорода.

Традиционно, вместо чисел для описания электронных состояний принято использовать буквы.

Исторически эти первые четыре буквенных символа произошли от спектроскопических терминов, использованных в 1890-е годы при описании спектров щелочных металлов: s (sharp – резкий); p (principal – главный); d (diffuse – диффузный);

f (fundamental – фундаментальный). Эти буквы не являются сокращениями слов, описывающих «форму электронного облака».

Значение главного квантового числа указывается перед буквой, а количество

электронов в этом состоянии указывается верхним индексом в символе nl x . Если электроны в атоме находятся в некоторых состояниях с определенными значениями квантовых чисел n и l , то считается заданной, так называемая э л е к т р о н н а я к о н ф и - г у р а ц и я . Например, 3s 2 3 p 2 3d 1...

ло меняется на единицу, то есть l 1. Правило отбора является следствием закона сохранения момента импульса.

Максимум 2 для электрона в 1s состоянии (основном состоянии n 1,

l 0 ) атома водорода Z 1 соответствует расстоянию до центра атома, равному

о

радиусу Бора rB 0,53A . В общем случае при произвольных n основной максимум

плотности вероятности обнаружения электрона ψn 2 приходится точно на n -й боровский радиус.

124

Физика атомов и молекул

1s

2

2s

3s

После решения квантовомеханической задачи для водорода, были решены задачи для более сложных элементов. В 1927 году Вальтер Гайтлер и Фриц Лондон (W. Heitler,

1904–1981, F. London, 1900–1954) решили квантовомеханическую задачу для H 2 (два

протона, два электрона) в приближении неподвижных протонов. Затем были найдены спектры энергии для других молекул.

Теория Шрѐдингера была в 1928-32 годах модифицирована Полем Дираком (P. Dirac, 1902–1984), который установил, что электрон обладает еще одним свойством (квантовым числом), которое получило название с п и н (от англ. spin – верчение) или с п и н о в о е к в а н т о в о е ч и с л о . Первоначально спин связывали с вращением электрона вокруг своей оси. Но на самом деле это не более чем иллюстрация, спин –

это чисто квантовое явление и классического аналога не имеет.

Проекция собственного момента на выделенную ось может принимать значения

Lsz ms 12 .

Понятие «спин» не укладывается в наши «макропредставления» о пространстве. При всех способах его регистрации спин всегда направлен вдоль той оси, которую наблюдатель выбрал за исходную. Значение спина 1/2 означает, что электрон становится идентичным сам себе при обороте на 7200, а не 3600, как в нашем трехмерном мире. Можно сказать, что мы в некотором смысле лишь наполовину воспринимаем мир, дос-

125

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

тупный электрону. Некоторое представление о «двойном повороте» дает замкнутая двухвитковая петля с бусинкой на ней. В результате «двойного поворота» создаваемое электроном магнитное поле вдвое больше того, которое мог бы дать вращающийся заряженный шарик. Спин принято считать одним из фундаментальных свойств природы (то есть он невыводим, как гравитация и электричество).

Таким образом, полную систему квантовых чисел электрона в атоме образуют четыре числа n,l, ml , ms , которые полностью определяют состояние электрона, то

есть волновую функцию состояния.

Введение спина позволило объяснить тонкую структуру спектра атома водорода, полученную из опытов, которая была необъяснима в теории Бора.

Поскольку спин электрона полуцелый, он относится к частицам, которые имеют полуцелый спин, и называются ф е р м и о н а м и .

Частицы, имеющие целый спин, называются б о з о н ы (примером бозона является фотон).

Для всех фермионов выполняется п р и н ц и п з а п р е т а П а у л и (W. Pauli, 1913–1958): в квантово механической системе фермионы не могут занимать состояния с одинаковым набором квантовых чисел. Значение хотя бы одного квантового чис-

ла у двух электронов в атоме должно быть различным. В соответствии с этим принципом происходит заполнение электронами состояний в атоме.

Пользуясь принципом Паули, можно найти максимальное число электронов в атоме, имеющих заданные значения трех (n,l, m) , двух (n,l) и одного n квантовых

чисел. Найдем максимальное число Z2 (n,l, m) электронов, находящихся в состояниях, определяемых набором трех квантовых чисел n,l и m , то есть отличающихся лишь ориентацией спинов электронов. Поскольку число ms может принимать лишь два зна-

чения: 12 и 12 , очевидно, имеем Z2 (n,l,m) 2 . Вычислим далее максимальное

число электронов Z3 (n,l) , находящихся в состояниях, определяемых двумя квантовыми числами n и l . Момент импульса может иметь (2l 1) различных ориентаций в

числа. Так как l при заданном n может принимать значения от 0 до (n 1) , то суммируя Z3 (n,l) по l от 0 до (n 1) , получим

126

Физика атомов и молекул

n 1

Z (n) 2(2l 1) 2n 2 .

l0

Втаблице приведены максимальные числа электронов, находящихся в состояниях, характеризуемых одинаковыми значениями главного n и орбитального l квантовых чисел.

2 , 3 , …, соответственно. В каждой оболочке электроны распределяются по подгруппам, или подоболочкам, каждая из которых соответствует определенному значению орбитального квантового числа l .

Для непосредственного «строительства» электронных оболочек атомов необходимо использовать еще одно правило, сформулированное в 1927 г. Фридрихом Хундом

(F. Hund, 1896): наиболее устойчивы при данном l состояния с наибольшим суммарным спином, то есть количество заполненных орбиталей на данном подуровне должно быть максимальным (по одному электрону на орбиталь).

Принцип Паули сыграл важную роль в развитии современной атомной и ядерной физики. Без принципа Паули невозможно было бы создать современную теорию твердых тел. Но самое главное, с помощью принципа Паули удалось теоретически обосно-

вать периодическую систему элементов Д. И. Менделеева (1834–1905).

В 1869 г. Д. И. Менделеев открыл периодический закон изменения химических и физических свойств элементов в зависимости от их атомных весов. Если расположить химические элементы в порядке возрастания их атомных весов, то через правильные промежутки, называемые периодами, элементы обнаруживают сходные физикохимические свойства, что позволило расположить элементы в виде таблицы, каждая строка которой соответствовала одному периоду. Однако сам Менделеев, расположив

127

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

известные в его время 64 химических элемента в таблицу, отражающую периодическое изменение химических свойств элементов, был в ряде случаев вынужден отступить от принципа возрастания атомных весов. Менделеев ввел понятие о порядковом номере элемента и, расположив химические элементы в порядке возрастания их номера, получил полную периодичность в изменении химических свойств элементов. При этом часть клеток периодической системы осталась свободной, так как соответствующие им элементы тогда еще не были известны. Таким образом, Менделееву удалось на основании открытого им закона предсказать ряд новых химических элементов (галлий, скандий, германий и др.) и описать их химические свойства. В дальнейшем все эти элементы были открыты, и предсказания Менделеева полностью подтвердились. Менделееву удалось также внести уточнения в значения атомных весов и некоторые свойства ряда элементов. Атомные веса бериллия, титана, цезия и урана, вычисленные на основе закона Менделеева, оказались правильными, а экспериментальные данные о них, полученные до этого, – ошибочными. Это явилось подлинным триумфом закона Менделеева. Являясь одним из важнейших законов природы, периодический закон Менделеева составляет основу современной химии, атомной и ядерной физики.

Физический смысл порядкового номера Z элемента в периодической системе элементов был установлен в ядерной модели атома Резерфорда: Z совпадает с числом положительных элементарных зарядов в ядре, закономерно возрастающих на единицу при переходе от предыдущего элемента к последующему. Химические свойства элементов и ряд их физических свойств объясняются поведением внешних, так называемых валентных, электронов атомов.

Квантовое обоснование периодической системы основывается на следующих положениях:

1)порядковый номер химического элемента равен общему числу электронов в атоме данного элемента;

2)состояние электронов в атоме определяется набором их квантовых чисел n,l, m и

ms . Распределение электронов в атоме по энергетическим состояниям должно

удовлетворять принципу минимума потенциальной энергии: с возрастанием числа электронов каждый следующий электрон должен занять возможное энергетическое состояние с наименьшей энергией;

3)заполнение электронами энергетических состояний в атоме должно происходить в соответствии с принципом Паули и правилом Хунда.

Процесс застройки электронных оболочек первых 36 элементов периодической системы представлен в таблице. Электронная конфигурация натрия, например, имеет

вид: 1s2 2s2 2 p6 3s . У следующих за натрием элементов нормально заполняются подоболочки 3s и 3 p . Подоболочка 3d при данной общей конфигурации оказывается

энергетически выше подоболочки 4s , в связи с чем при незавершенном в целом заполнении оболочки M начинается заполнение оболочки N . Подоболочка 4 p лежит уже

выше, чем 3d , так что после 4s заполняется подоболочка 3d . С аналогичными отступлениями от обычной последовательности осуществляется застройка электронных уровней всех атомов. При этом периодически повторяются сходные электронные конфигурации сверх полностью заполненных подоболочек (например, 1s, 2s, 3s и т. д.).

Периодичность химических свойств элементов объясняется повторяемостью электронных конфигураций во внешних электронных подгруппах у атомов родственных элементов.

128

Физика атомов и молекул

Периодическая система элементов Д. И. Менделеева

Теоретическое объяснение периодического закона Менделеева – одного из важнейших законов естествознания – явилось величайшим достижением современной физики.

129