ФИЗИКА / 0837200_DA350_klimovskiy_a_b_kurs_lekciy_po_fizike_chast_2_elektromagnetiz

ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

одинаковыми амплитудами E0 , близкими частотами ω и ω dω и волновыми числами k и k dk

E E0 sin(ωt kx) E0 sin (ω dω)t (k dk)x

зависимости от координаты x и времени t . Скорость распространения этой несинусоидальной волны есть скорость движения амплитуды. Амплитуда будет постоянна при tdω xdk const . Это постоянное значение амплитуды будет перемещаться со

Групповая скорость является скоростью переноса световым импульсом энергии. При нормальной дисперсии u V , при аномальной u V .

В недиспергирующей среде, в которой дисперсия отсутствует, dndλ 0 , группо-

вая скорость совпадает с фазовой u V .

90

Квантовая природа излучения

Квантовая физика

К концу XIX века в физике насчитывалось немало выдающихся достижений. Созданные и развитые за предшествующие три столетия теории позволяли весьма успешно объяснять широкий круг явлений природы.

Ньютоновская механика объясняла движение предметов на Земле и небесных тел. Электромагнитная теория Максвелла объясняла с единых позиций электрические и магнитные явления. Кроме того, теория Максвелла предсказала существование электромагнитных волн, возникли представления о волновой электромагнитной природе света.

Казалось, что в целом физика правильно описывает все происходящие в мире процессы и явления. Во всяком случае, почти все. Некоторые существующие «белые пятна», не поддающиеся пока объяснению, должны были, по ожиданиям, найти свое решение в ближайшие 10 20 лет.

Но все оказалось не так просто. Для объяснения, казалось бы, отдельных экспериментальных фактов потребовался пересмотр основных устоев физического знания, что привело к созданию двух принципиально новых теорий, существенно изменивших наши представления о природе. В результате этого, в начале ХХ века была создана новая физика, которую принято называть современной физикой, в отличие от физики, сложившейся до ХХ века, получившей название классической физики и являющейся частным случаем современной физики. Одну из новых теорий теорию относительности мы рассмотрели в первой части нашего курса. Там же мы говорили об экспериментальных результатах, для объяснения которых потребовалось создание теории относительности. Вторую теорию и условия ее создания мы будем рассматривать в данном разделе. Она получила название квантовой теории. Исторически сложилось так, что зарождение квантовой теории связано с объяснением спектральной плотности теплового излучения. С изучения этого явления мы и начнем.

Тема: Квантовая природа излучения

Вопросы:

1.Тепловое излучение. Свойства. Характеристики.

2.Модель абсолютно черного тела. Законы Кирхгофа, Стефана–Больцмана. Закон смещения Вина.

3.Теории Рэлея–Джинса и Вина. Формула Планка.

4.Внешний фотоэффект. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

5.Корпускулярно-волновой дуализм излучения. Фотон. Характеристики.

6.Эффект Комптона.

Т е п л о в ы м и з л у ч е н и е м называется излучение электромагнитных волн нагретыми телами за счет внутренней энергии тел.

Если тело имеет температуру больше абсолютного нуля (обладает внутренней энергией), то оно излучает. Если окружающие его тела имеют более высокую температуру, то количество поглощаемой телом энергии больше, чем излучаемой. Количество излучаемой энергии будет больше поглощаемой тогда, когда температура тела выше температуры окружающей тело среды (окружающих тел).

Тепловое излучение в отличие от других свечений является равновесным, оно находится в равновесии с излучаемыми телами. Эта способность теплового излучения

91

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры и уменьшается при понижении температуры.

Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено, и тело излучает энергии больше, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к понижению температуры. Это в свою очередь обусловит уменьшение количества излучаемой телом энергии. Температура тела будет понижаться. Понижение температуры будет происходить до тех пор, пока количество излучаемой телом энергии не станет равным количеству поглощаемой энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, то есть количество излучаемой энергии будет меньше, чем поглощаемой, то температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие. Таким образом, нарушение равновесия в системе «тело–излучение» вызывает возникновение процессов, восстанавливающих равновесие.

Независимо от начальной температуры, температура тела стремится стать равной температуре окружающей среды, в результате тело приходит в равновесие со средой и излучением.

Для количественного описания теплового излучения введем его характеристики.

Самой общей характеристикой является п о т о к э н е р г и и количество энергии, испускаемой нагретым телом в единицу времени.

Более детальной характеристикой, которая учитывает неравномерность излучения с поверхности тела, является э н е р г е т и ч е с к а я с в е т и м о с т ь тела R количе-

ство энергии, излучаемой нагретым телом в единицу времени с единицы площади по-

верхности. Энергетическая светимость, как и поток энергии, зависит от температуры. Если излучение одинаково по всей поверхности, то по определению энергетиче-

ской светимости

R S ,

здесь S – площадь поверхности излучающего тела.

Если излучение в разных точках поверхности различно, то

R ddS ,

где d – поток энергии излучения участка поверхности тела площадью dS .

И в полном потоке, и в светимости учитывается вся энергия, уносимая всеми электромагнитными волнами с длинами волн от нуля до бесконечности.

Характеристикой, учитывающей спектральный состав излучаемой энергии, яв-

ределяет энергию, уносимую в единицу времени с поверхности единичной площади электромагнитными волнами, длины волн (частоты) которого находятся в единичном интервале длин волн (частот).

часть энергетической светимости, приходящейся на единичный интервал длин волн

92

щенного поверхностью dWпогл (λ) (или dWпогл (ν) ), от энергии излучения, достигше-

Экспериментально установлено, что отношение испускательной способности к поглощательной способности является универсальной функцией, не зависящей от свойств материала. Этот факт носит название з а к о н а К и р х г о ф а

Универсальная функция, выраженная через длину волны – φ(λ,T ) , или через частоту – f (v,T ) , называется ф у н к ц и е й К и р х г о ф а .

По поглощательным свойствам все вещества делятся на две группы:

1.Вещества, у которых поглощательная способность не зависит от длины волны, aλ a const , называются серыми телами.

2.Вещества, у которых поглощательная способность является некоторой функцией, зависящей от длины волны, aλ a(λ) , называются несерыми или окрашенными.

Среди серых тел выделяют идеальную модель – а б с о л ю т н о ч е р н о е т е л о (АЧТ), полностью поглощающее все попадающее на его поверхность излучение

(a 1) . Иногда говорят об абсолютно белом теле (a 0) .

У серых тел поглощательная способность, называемая коэффициентом поглощения, находится в интервале 0 a 1.

Абсолютно черных тел в природе не существует, сажа и платиновая чернь, близкие по своим свойствам к АЧТ, имеют поглощательную способность около единицы

93

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

лишь в ограниченном интервале длин волн (частот). Однако можно создать реальный объект, сколь угодно свет близкий по свойствам к абсолютно черному телу. Таким объектом является малое отверстие в замкнутой полости.

Чем меньше отверстие, тем ближе его свойства к свойствам АЧТ.

Излучение, проникшее через отверстие внутрь полости, прежде чем выйти обратно претерпевает многократные отражения. При каждом отражении часть энергии поглощается, в результате чего практически все из-

лучение поглощается такой полостью. Если стенки полости поддерживать при некоторой температуре Т , то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению абсолютно черного тела при той же температуре.

Запишем закон Кирхгофа для АЧТ. Поскольку a 1, то rλ rλ* φ(λ,T ) (звез-

дочкой * мы будем отмечать характеристики, относящиеся к АЧТ). Таким образом, оказывается, что функция Кирхгофа описывает испускательную способность АЧТ. Следовательно, функцию Кирхгофа можно исследовать экспериментально, изучая спектральный состав излучения объекта, обладающего свойствами АЧТ (например, отверстия в полости). Результаты исследований для разных температур приведены на рисунке.

Перейдем от спектральной плотности к энергетической светимости.

В 1879 году австрийский физик Йозеф Стефан (J. Stefan, 1835–1893), анализируя экспериментальные результаты, пришел к выводу, что энергетическая светимость про-

94

Квантовая природа излучения

Если серое тело не абсолютно черное, то Rсер aσT 4 , где a – поглощательная

способность (коэффициент поглощения) серого тела (степень черноты).

При исследовании функции Кирхгофа немецким физиком Вильгельмом Вином (W. Wien, 1864–1928) было установлено, что длина волны, соответствующая максимальной спектральной плотности, связана с температурой по закону

Было предпринято несколько попыток объяснения спектрального состава теплового излучения с позиций классической физики. Наиболее удачными были теория Рэ-

лея–Джинса (J. Rayleigh, 1842–1919, J. Jeans, 1877–1946) и теория Вина.

В теории Вина (1896 г.) было получено выражение спектральной плотности излучения АЧТ, согласующееся с экспериментом в области коротких волн и удовлетворяющее закону смещения Вина. При этом теория

Откуда следовало, что при λ 0 функция Кирхгофа φ . Этот результат получил

название «ультрафиолетовой катастрофы», поскольку если бы теория Рэлея-Джинса соответствовала действительности, то вся энергия практически мгновенно бы была излучена короткими волнами.

В то же время теория Рэлея–Джинса удовлетворительно описывала экспериментально полученную спектральную плотность излучения АЧТ φ(λ) в области больших

длин волн.

С позиции классической физики, рассуждения и выводы Рэлея–Джинса и Вина являлись безупречными. Расхождение классических теорий с результатами экспериментов указывало на существование закономерностей, несовместимых с классическим описанием.

Согласующееся с опытом выражение для спектрального состава теплового излучения было предложено в 1900 году Максом Планком (M. Planck, 1858–1947). Выражение Планка, описывающее экспериментальные результаты и называемое сейчас

ф о р м у л о й П л а н к а , имеет вид:

95

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

где h 6,63 10 34 Дж с – постоянная, известная сейчас под названием постоянной

Планка, k 1,38 10 23 Дж/K – постоянная Больцмана, c – скорость света в

вакууме.

Первоначально М. Планк нашел функцию, описывающую экспериментальные данные и приводящую к результатам, полученным в теории Вина и Рэлея–Джинса, в тех областях, где указанные теории были справедливы. Лишь позже, через несколько месяцев, обдумывая теоретические предпосылки и физическую сущность полученного выражения, он пришел к заключению, что мог бы вывести найденную им функцию на основе нового, весьма радикального, чуждого классическим представлениям, предположения, что энергия колеблющихся атомов в твердых телах не может изменяться непрерывно, то есть, не может принимать любые значения. По гипотезе Планка минимальная порция изменения энергии E колебания, имеющего частоту ν , равна

Ehv .

Ги п о т е з а П л а н к а – атомные осцилляторы (колеблющиеся атомы) могут изменять свою энергию только порциями (квантами) – принципиально расходилась с пред-

ставлениями классической механики и явилась основой квантовой теории.

По Планку колеблющийся атом твердого тела является не классическим, а квантовым осциллятором, и его энергия может быть равна только целому числу порций

энергии E

Ε n E nhν n hcλ ,

где n 1, 2, 3... – целое число.

Средняя энергия одного такого квантового осциллятора, равная

не будет равна средней энергии классического осциллятора E kT , где k – посто-

янная Больцмана.

Законы Стефана–Больцмана, закон Вина, формула Рэлея–Джинса в согласующихся с экспериментом областях длин волн могут быть получены из формулы Планка.

Действительно, найдем энергетическую светимость АЧТ, используя формулу

Планка. По определению R* φ(λ,T )dλ , тогда

чина, которая выражается через константы.

96

Квантовая природа излучения

Поскольку постоянная Больцмана была измерена экспериментально, то полученное для σ выражение впервые позволило вычислить введенную Планком постоянную.

Оказалось, что h 6,6 10 34 Дж с .

Теперь, получим формулу Рэлея-Джинса, справедливую для больших длин волн.

hc

e λkΤ 1 λhckT . Подставляя в формулу Планка записанные приближенные выраже-

ния, получим формулу Рэлея–Джинса

Гипотеза Планка была развита Эйнштейном. Поскольку по Планку энергия осцилляторов квантована, то из закона сохранения энергии следует, что энергия должна поглощаться и излучаться тоже порциями.

Для проверки этой гипотезы Эйнштейн предложил провести количественные из-

мерения в н е ш н е г о ф о т о э ф ф е к т а – испускания электронов металлами при облучении светом.

Испускание заряженных частиц было открыто Г. Герцем в 1887 году, систематически исследовано А. Г. Столетовым (1838–1896) в 1888-89 годах. В 1898 году Ф. Ленардом (F. Lenard, 1862–1947) и Дж. Дж. Томпсоном было установлено, что испускаемыми заряженными частицами являются электроны.

97

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

Из волновой теории света применительно к фотоэффекту, следовало, что:

1.Кинетическая энергия вылетевших электронов должна зависеть от интенсивности света

Eкин f (I ) .

2. Кинетическая энергия электронов не должна зависеть от частоты света.

Исходя из корпускулярной теории, Эйнштейн предсказывал, что:

1.Кинетическая энергия вылетевших электронов не должна зависеть от интенсивности облучения.

2.Кинетическая энергия должна линейно зависеть от частоты, когда ν ν0 , где ν0 –

некоторая частота, названная к р а с н о й г р а н и ц е й ф о т о э ф ф е к т а , зависящая от свойств облучаемого металла.

Свои выводы Эйнштейн получил, используя квантовые (корпускулярные) представления, согласно которым электрону передается световая энергия hv . Электрон при выходе из твердого тела расходует часть полученной энергии на совершение работы против удерживающих его в металле сил. Часть энергии может быть потеряна в результате столкновений. Неизрасходованная энергия останется у электрона в виде кинетической энергии. Она будет максимальной, если при выходе электрона он будет расходовать энергию только на работу выхода. Из этих рассуждений Эйнштейн получил для

где ν0 и есть красная граница фотоэффекта.

Предсказания квантовой теории света (теории Эйнштейна) были подтверждены в 1913-14 годах экспериментами талантливого экспериментатора Роберта Милликена (R. Millikan, 1868–1953). Количественные измерения фотоэффекта сильно зависели от состояния (чистоты) поверхности металла. Вакуумные условия, в которых проводились измерения до Милликена, были недостаточными, поэтому получаемые результаты были не воспроизводимы. Милликену удалось решить задачу получения и сохранения чистой поверхности металла.

Схема опыта Милликена приведена на рисунке. Между двумя электродами, катодом ( K ) и анодом ( A ), подавалось напряжение U . При освещении фотокатода электроны при достаточной энергии кванта света покидали катод и, если поле между катодом и анодом позволяло, достигали анода. В этом случае с помощью амперметра ( I ) регистрировался ток фотоэлектронов (фототок). Если на анод подать отрицательное

98

Для объяснения фотоэффекта было достаточно предположить, что свет поглощается такими же порциями, как и испускается. Однако Эйнштейн выдвинул гипотезу, что свет и распространяется в виде дискретных частиц, названных первоначально световыми квантами. Существование световых квантов экспериментально было доказано Вальтером Боте (W. Bothe, 1891–1957) в 1924 г. В опыте Боте тонкая металлическая фольга помещалась между двумя газозарядными счетчиками. Фольга освещалась слабым пучком рентгеновских лучей, под действием которых она сама становилась источником рентгеновского излучения. Вследствие малой интенсивности первичного пучка, если свет испускается квантами, то количество квантов, испускаемых фольгой, также должно быть невелико. С двух противоположных от фольги сторон располагались два датчика. Если бы излучаемая энергия распространялась равномерно во все стороны, то оба счетчика срабатывали бы одновременно. В действительности же наблюдалось совершенно беспорядочная, несинхронная, регистрация датчиками рентгеновского излучения. Это можно было объяснить только тем, что в отдельных актах испускания возникают световые частицы, летящие то в одном, то в другом направлении.

Таким образом, ряд экспериментов, в частности, фотоэффект и опыт Боте свидетельствовали, что свет ведет себя как поток частиц. Другие эксперименты, например, рассмотренные нами ранее дифракция и интерференция, показывали, что свет ведет себя как волна. Оба эти представления считались несовместимыми, но оба подтверждались экспериментами. В силу принципиальной невозможности разрешить это противоречие, физики пришли к выводу о двойственной природе света. Стало ясно, что свет является более сложным явлением, чем просто волна или поток частиц, и ни тот, ни другой способ описания света не позволяет учесть все его свойства. Датский физик Нильс Бор (N. Bhor, 1885–1962) сформулировал п р и н ц и п д о п о л н и т е л ь н о с т и

– для объяснения данных эксперимента необходимо использовать либо волновые, либо квантовые (корпускулярные) свойства света, но не те и другие одновременно. Оба этих аспекта поведения света дополняют друг друга, являясь упрощенными и, в силу этого, ограниченными моделями сложного явления, каким является свет.

прежде всего, тем, что используемые нами для понимания сложных явлений образы и модели ограничены повседневным опытом.

99