1.3.1. Вычисление абсолютной и относительной погрешности

Наиболее вероятное значение функции у, т.е. результата косвенного измерения получается при подстановке в (1.17) средних значений аргументов

у_изм=f(), (1.18)

Поскольку каждая из величин (гдеk=1,2, …,n) определена с погрешностью, то величинау_измтакже будет найдена с некоторой погрешностью. В теории погрешностей (выходящей за рамки данного пособия) показано, что эта погрешность вычисляется по формуле:

(1.19)

где – частная производная функции,x_kаргументу, вычисленная при среднем значении;

– абсолютная погрешность прямого измерения.

Относительная погрешность:

(1.20)

Формула (1.20) является общей и может быть упрощена для частного случая, когда аргументы входят в функцию в виде сомножителей

,

где А– любой постоянный множитель;

α– показатель степени,

тогда можно записать

(1.21)

Формула (1.21) более удобна для вычислений, поскольку относительные погрешности прямых измерений уже определены, однако, если функция представлена не произведением аргументов, а иной зависимостью, то необходимо использовать (1.20).

Пример. Пусть определяется плотность тока через проводник

где D– диаметр проводника;

I– величина тока.

В эту формулу все аргументы входят в виде сомножителей. Рассчитаем относительную, а затем абсолютную погрешность. В соответствии с (1.20):

Число πздесь не считается постоянным, т.к. в зависимости от смены округления оно будет различным (Δπ– погрешность, обусловленная округлением).

Найдем производные:

Тогда

Следовательно:

Заметим, что последнюю формулу можно было записать сразу на основании (1.21).

Предположим, что ток измеряется амперметром, а диаметр провода микрометром. Результаты наблюдений представлены в форме таблицы (табл. 1.4).

Обработка результатов прямых испытаний проводится по правилам, изложенным в п. 1.2.

Таблица 1.4

Результаты наблюдений

Номернаблюдения	D	∆D	I	∆I
	мм	мм	мA	мA
1	6,40	- 0,020	20,8	+ 0,12
2	6,42	0,000	20,4	- 0,28
3	6,41	- 0,010	20,7	+ 0,02
4	6,43	+ 0,010	20,9	+ 0,22
5	6,44	+ 0,020	20,5	- 0,18
6	6,42	0,000	20,8	+ 0,12
7	6,41	- 0,010	20,5	- 0,18
8	6,43	+ 0,010	20,8	+ 0,12
9	6,41	- 0,010	20,9	+ 0,22
10	6,43	+ 0,010	20,5	- 0,18
	6,42		=20,68

Для наблюдений величины силы тока получим:

=0,13 мм;=0,067 мА;=0,048 мА;

=0,16 мА;=0,77%.

Для наблюдений диаметра проводника получим:

=0,0090 мм;=0,027 мм;=0,0048 мм;=0,011 мм;=0,17%.

Для того чтобы погрешностью ∆π∕πможно было пренебречь необходимо число π взять с четырьмя значащими цифрами:

π= 3,142.

Тогда ∆π<0,0005 иε_π< 0,02%.

В этом случае относительная погрешность косвенного измерения:

ε_j==0,84%0,8%.

Плотность тока = 6,306 мА/мм²

Абсолютная погрешность:

.

Результат измерения: j=(6,306±0,050) мА/мм²;

ε_j=0,8 % ;Р=0,95.

В заключение отметим, что формулы (1.17), (1.18), (1.19) справедливы только в том случае, когда все аргументы независимые и измерены независимыми методами.