Контрольные вопросы

1. Объяснить механизм электропроводности полупроводников на основе зонной теории твердого тела.

2. Нарисовать и объяснить энергетические диаграммы атома и твердого тела.

3. Объяснить график зависимости электропроводности собственного и примесного полупроводника от температуры.

4. Как различаются примеси по влиянию на свойства полупроводника?

5. Почему в работе используется зондовый метод измерения? Какие методы еще вам знакомы?

Литература [3] 7.1, 8.3, 8,4; [5] 5.37-5.39.

Рис. 2.9. Графики зависимости удельного сопротивления от температуры

2.2. Исследование полупроводников с помощью эффекта Холла

Цель работы:определение концентрации носителей заряда на основе измерения Э.Д.С. Холла, исследование зависимости Э.Д.С. Холла от напряженности магнитного поля и определение холловской подвижности.

Основные сведения из теории

Прохождение электрического тока в металлах связано с движением электронов под действием электрического поля. Согласно электронной теории электропроводности металлов закон Ома в дифференциальной форме имеет вид:

j=σ∙E, (2.16)

где j– плотность тока;

σ– удельная электропроводность;

E– напряженность электрического поля.

С другой стороны, плотность тока, как векторная величина, определяется зарядом носителей, их концентрацией и скоростью движения, обусловленного действием поля:

илиj=enV_д, (2.17)

где e– заряд электрона;

n– концентрация свободных электронов;

V_д– средняя скорость упорядоченного движения электронов под действием электрического поля напряженностьюЕ(дрейфовая скорость).

Если сравнить эти две формулы, то нетрудно заметить, что электропроводность определяется концентрацией носителей и их подвижностью. Действительно, из условия σE=enV_димеем:

, (2.18)

где – подвижность электронов.

Из предыдущих выражений можем записать:

(2.19)

где – падение напряжения на датчике;

l– длина датчика;

S– площадь поперечного сечения датчика.

Зная электропроводность и концентрацию, можно определить подвижность носителей, т.е. среднюю скорость движения электронов под действием единичной напряженности. Удельная электропроводность легко определяется опытным путем, а для определения концентрации необходимо знать ее связь с какой-то другой величиной, доступной экспериментальному определению. Такой величиной является постоянная Холла, которую можно вычислить на основании измерения ЭДС Холла.

Для установления связи постоянной Холла с концентрацией и ЭДС Холла рассмотрим сущность этого явления. На частицу с электрическим зарядом е, движущуюся в магнитном поле со скоростьюV, направленной произвольным образом по отношению к вектору магнитной индукцииBдействует сила Лоренца. Если проводник с током поместить в магнитное поле, то под действием силы Лоренца носители тока будут отклоняться от первоначального направления движения, создавая избыточный заряд на соответствующей поверхности проводника. Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно к скорости движения заряда и играет роль центростремительной силы:

(2.20)

Явление Холла свойственно для всех твердых тел со свободными носителями, в том числе и для полупроводников. В полупроводниках носителями зарядов являются как электроны, так и дырки. Сила Лоренца, действующая на электроны и дырки при заданном направлении тока, имеет одно и то же направление. Поэтому в зависимости от концентрации электронов и дырок эффект Холла может быть значительным, а может и отсутствовать.

В полупроводнике прямоугольного сечения (рис.2.10) при наличии электрического поля напряженностью Е возникает электрический ток.

+

+

+

+

–

–

–

–

а) б)

Рис. 2.10. Возникновение эффекта Холла в электронном (а) и дырочном (б) полупроводниках

Носители заряда получают скорость направленного движения , которая для дырок совпадает с направлением поля, а для электронов направлена против поля.

При наложении магнитного поля на электроны и дырки действует сила Лоренца, которая не зависит от знака носителей заряда, а определяется только направлением электрического и магнитного полей:

. (2.21)

В результате действия электрического и магнитного полей электроны и дырки будут двигаться под углом φк полю. При различной концентрации электронов и дырок на одной стороне образца будут накапливаться избыточные носители (основные носители), а на другой (противоположной) стороне будет их недостача. В результате этого возникает поперечное электрическое полеЕ_Н и разность потенциалов между точками, лежащими на противоположных сторонах образца и являющихся в электрическом отношении симметричными, при отсутствии магнитного поля (рис. 2.10).

Таким образом, эффект Холла в полупроводниках возникает вследствие того, что сила Лоренца искривляет путь зарядов при их движении от одного конца образца к другому. В результате этого вдоль той стороны полупроводника с электронной проводимостью, в сторону которой изгибаются траектории носителей, образуется избыток отрицательных зарядов, а на противоположной стороне будет нескомпенсированный положительный заряд.

Процесс накопления заряда продолжается до тех пор, пока действие поперечного электрического поля на заряды не уравновесит действие силы Лоренца.

V_x

V_y

Рис. 2.11. Поперечная разность потенциалов, обусловленная эффектом Холла

Тогда напряженность поперечного электрического поля и разность потенциалов могут быть выражены через индукцию магнитного поля и величину тока. Действительно, из

eV_xB=eE_yимеемE_y=V_xB, (2.22)

где V_х, V_у– проекции скорости носителей.

Практически измеряется не напряженность E_y, а разность потенциалов (рис. 2.11);

U_y=U₁-U₂=E_yb=V_xBb. (2.23)

Но так как j_x=enV_xиI=j_x S=j_x bd,

то , или

, (2.24)

где – постоянная Холла.

Зная величину тока, индукцию магнитного поля, толщину образца и измерив ЭДС Холла (U_y), можно вычислить константу Холла из формулы (2.24):

. (2.25)

После этого легко вычислить концентрацию основных носителей заряда в полупроводнике:

. (2.26)

В полупроводниках со смешанной проводимостью перенос тока осуществляется одновременно электронами и дырками, которые отклоняются в одну сторону. Поэтому эффект Холла у них меньше, а константа Холла определяется соотношением:

, (2.27)

где А – Холл – фактор (1 – 2), учитывающий распределение электронов по скоростям и механизм рассеяния носителей,

pиn– концентрация дырок и электронов.

При движении частиц в твердом теле необходимо учитывать рассеяния, нарушающие направленное движение частиц под действием полей. После каждого рассеяния частица будет двигаться по новой линии, характеризуемой новыми параметрами. В связи с этим вводится понятие "сильных" и "слабых" магнитных полей, которое зависит не только от величины индукции магнитного поля, но и от подвижности носителей заряда.

"Слабыми" называют магнитные поля, в которых радиус кривизны траектории электрона много больше длины его свободного пробега:

>>λилиτ<<T.

где τ– время свободного пробега;

T– время одного оборота электрона.

Если ~λ, то поле сильное и в промежутках между столкновениями электроны заворачиваются по окружности такого малого радиуса, что резко меняется траектория и, следовательно, механизм рассеяния электронов.

Таким образом, в "слабых" и "сильных" полях будет различной подвижность носителей, и константа Холла. Это можно обнаружить по зависимости R_Н, вычисленной из формулы (2.25) при одинаковых значениях тока, от величины индукции магнитного поля.