3.2. Энергетические состояния микрочастиц Основные справочные формулы

• Формула де Бройля, выражает связь длины волны с импульсомрдвижущейся частицы, для двух случаев:

а). в нерелятивистском случае (p=m₀V), еслиV<<c

; (3.6)

б). в релятивистском случае (), еслиV→c,

, (3.7)

где: h– постоянная Планка;

m₀– масса покоя частицы;

V– скорость частицы;

с– скорость света в вакууме.

• Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Т частицы

а) для нерелятивистского случая

; (3.8)

б) для релятивистского случая

, (3.9)

где Е₀=m₀с– энергия покоя.

• Соотношения неопределенностей Гейзенберга имеют вид

(3.10)

(3.11)

где P_x– неопределенность проекций импульса на ось х;

ΔE– неопределенность энергии частицы;

Δt– неопределенность времени;

Δx– неопределенность координаты.

• Если потенциальное поле Uне зависит от времени, то можно записать стационарные уравнения Шредингера. Для одномерного случая уравнения будут иметь вид:

(3.12)

(3.13)

где Е – энергия частицы;

ψ – функция, зависящая отх;

φ – функция, зависящая отt.

Волновая функция частицы

(3.14)

определяется решениями (3.12) и (3.13).

• Для свободного электрона выражение (3.14) прнимает плоской волны, движущейся в направлении х:

, (3.15)

где kx-ωt– фаза волны.

• Участок волны, имеющий данное значение фазы и движущийся в вдоль оси химеетфазовую скорость:

(3.16)

• В реальном случае волны де Бройля накладываются друг на друга, образуя волновой пакет, который движется с групповойскоростьюυ_r:

(3.17)

Эта скорость совпадает со скоростью распространения частицы.

• Вероятность dW обнаружить частицу в интервалеdx (для одномерного случая) выражается формулой:

. (3.18)

Вероятность W обнаружить частицу в интервале отx₁доx₂находится интегрированием:

(3.19)

Собственное значение энергии E_nчастицы, находящейся наn-ом энергетическом уровне в бесконечно глубокой потенциальной яме, выражается формулой:

,(3.20)

где L – ширина потенциальной ямы.

Собственная волновая функция, соответствующая (3.20) имеет вид:

. (3.21)

• Коэффициент преломления n волн де Бройля на границе потенциальной ступени, если(низкая потенциальная ступень) имеет вид:

. (3.22)

Коэффициенты отражения R и прохожденияА волн де Бройля через низкую потенциальную ступень (рис. 3.2):

(3.23)

Рис. 3.2

• Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера шириныd(рис. 3.3)

(3.24)

Рис. 3.3

• Собственное значение энергии электрона в водородоподобном атоме:

(3.25)

где n – главное квантовое число (n=1,2,3,...);

ε₀– электрическая постоянная;

z – число протонов в ядре атома.

• Квантовый гармонический осциллятор имеет энергию:

Е_п=hν(n+1/2), (3.26)

где n– квантовое число.

• Энергия фонона также определяется формулой

Е_ф=hν. (3.27)

Примеры решения задач

Пример 1.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь принял ускоряющую разность потенциалов: 1) 100 В; 2) 500 кВ. Определить длину волны электрона.

Решение:В первую очередь необходимо установить, является ли частица ли частица релятивистской, т.е. Т≈Е₀или классическойТ<<Е₀, гдеТ– кинетическая энергия частицы, аЕ₀– энергия покоя.

В первом случае получаем соотношение:

Частица является нерелятивистской и можно воспользоваться выражением (3.8)

_.

Во втором случае получим соотношение:

;

то есть частица релятивистская и необходимо воспользоваться выражением (3.9).

Пример 2.Кинетическая энергия электрона в атоме водорода имеет величину порядкаT=10 эВ. Используя соотношение неопределенностей оценить минимальные размеры атома.

Решение:Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид, в частности:

Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в приделах области с неопределенностью. Соотношение неопределенностей в этом случае можно записать в виде:

Физически разумная неопределенность импульса не должна превышать величины самого импульса, т.е. . Импульс связан с кинетической энергией известным соотношением:

Заменим Р значением(такая замена не увеличитl), и перейдем от неравенства к равенству:

Подставив числовые значения и проведя вычисления, получим:

l_min=124 пм.

Пример 3.Определить фазовую скорость волны де Бройля, свободно движущейся с постоянной скоростьюυэлектрона в нерелятивистском и релятивистском случаях.

Решение: Известно, чтоυ_ф=ω/k, ω=2πν,k=2π/λ. Можно записать:

1). υ<<c – нерелятивистский случай.

2). υ≈c – релятивистский случай.

Пример 4.Сравнить минимальные неопределенности координаты электрона и винтовочной пули (9 г), если неопределенность скоростей у них одинакова – 5 м/с.

Решение: В случае минимума неопределенностей в (3.10) переходим к равенству:

.

Подставив численные значения и проведя вычисления, получим:

– для электрона: ,

– для пули:

Пример 5. Электрон находится в бесконечно глубокой потенциальной яме ширинойL . Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n=2), находится в первой четверти потенциальной ямы.

Решение: ВероятностьW обнаружить частицу в интервалеопределяется равенством (3.19). Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме (3.18). В итоге можно записать выражение:

или

Запишем соотношение:

и представим интеграл в виде:

Пример 6. Монохроматический поток электронов (Е = 50 эВ) подает на низкую потенциальную ступень бесконечной ширины. Определить высоту потенциальной ступениU₀, если известно, что 5% падающих на ступень электронов отражается.

Решение:Коэффициент отраженияR от низкой потенциальной ступени выражается формулой (3.22).

В области Iкинетическая энергия электронаЕи волновое число связаны соотношением:

В области IIволновое число выражается соотношением:

С учетом иможно записать:

Преобразуя последнее выражение, можно записать:

Подставляя в данное выражение значения величин, и произведя вычисления, найдем:

Пример 7.Электрон с энергиейE= 6,2 эВ движется в положительном направлении оси Х. Высота потенциального барьераU₀= 6,5 эВ. При какой толщине барьера вероятность прохождения электрона через нее будет равна 0,1.

Решение: Вероятность W прохождения частицы через потенциальный барьер смыслу совпадает с коэффициентом прозрачностиD. Cучетом выражения (3.24) можно записать:

.

Логарифмируя это выражение, получим:

или

Подставим необходимые величины (в системе СИ), произведем вычисления и получим:

d ≈ 0,01 нм.

Пример 8.Электрон в атоме водорода перешел со второго энергетического уровня на четвертый. Определить длину волны, энергию рожденного в этом случае фотона.

Решение:Переход связан с убыванием энергии (см. 3.25)

С другой стороны известно соотношение:

Из приведенных выражений можно определить длину волны:

Подставив в расчетную формулу данные и проведя необходимые вычисления, получим:

.

Пример 9.Определить максимальную энергию фотона, который может возникать в кристаллеNaCl. Температура ДебаяТ_g=320К. Определить длину волны фотона с такой энергией.

Решение:Энергия фотона определяется температурой среды

E_Ф=kТ_g.

Известно (3.27), что энергия фотона составляет

.

Длина волны фотона

Вычисления дают величины:

Е_Ф=28 мэВ,λ=45 мкм.

Задачи

1. Определить длину волны де Бройля, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость . Сделать такой же расчет для протона.

2. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы длинна волны была равна 0,1нм.

3. Электрон движется со скоростью 2∙10⁸м/с. Определить длину волны де Бройля релятивистской частицы.

4. Найти длину волны де Бройля, если его кинетическая энергия 1кэВ.

5. Определить длину волны де Бройля электрона, находящегося на второй орбите атома водорода.

6. Электрон движется по окружности 0,5см в однородном магнитном поле 8 мТл. Найти длину волны электрона.

7. Найти длину волны для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.

8. Определить длину волны электрона в основном состоянии в потенциальной яме (l=10^-14м).

9. Вычислить волну де Бройля для тела массой 1 г, движущегося со скоростью 100 м/с. Нужно ли учитывать в этом случае волновые свойства микрочастицы?

10. Время жизни возбужденного ядра порядка 1 нс, длинна волны излучения составляет 0,1 нм. С какой наибольшей точностью может быть определена энергия излучения?

11. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки в определении импульса электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью

12. Электрон с кинетической энергией 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром 1 мкм. Оценить относительную неопределенность, с которой может быть определена его скорость.

13. Во сколько раз дебройлевская длина волны частицы меньше неопределенности ее координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%.

14. Используя соотношение неопределенностей найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию электрона, находящегося в потенциальной яме шириной L.

15. Оценить относительную ширину спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии (τ=10^-8с) и длинна волны излучаемого фотона (λ=0,6 мкм).

16. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить линейные размеры ядра.

17. Используя соотношение неопределенностей оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома – 0,1 нм.

18. Показать, используя соотношения Гейзенберга, что в ядре не могут находиться электроны. Принять линейные размеры ядра – 5∙10^-15м.

19. Написать уравнение Шредингера для свободного электрона, движущегося в положительном направлении со скоростью υ.Найти решение этого уравнения.

20. Докажите, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости свободно движущейся частицы.

21. Выведите закон диспропорции волн де Бройля, т.е. зависимость скорости волн от их длины.

22. Докажите, что для свободно движущейся со скоростью υчастицы справедливо соотношениеυ_фυ_r=c².

23. Почему при физической интерпретации говорят не о самой волновой функции, а о квадрате ее модуля?

24. Может ли быть больше единицы?

25. Электрону в потенциальной яме шириной L отвечает волновое число,(n = 1,2,3…). Получить выражение для свободных значений энергии.

26. Электрон находится в потенциальной яме шириной L.В каких точках плотность вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетическом уровне одинакова?

27. Электрон находится в потенциальной яме шириной 0,1нм. Определить наибольшую разность энергетических уровней.

28. Вычислить отношение вероятностей нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале L/4, равноудаленном от стенок ямы.

29. В одномерной потенциальной яме находится электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале L/4, равноудаленном от стенок ямы.

30. Частица в потенциальной яме находится в основном состоянии. Какова вероятность нахождения частицы в двух случаях: 1) в средней части ямы; 2) в крайней трети ямы?

31. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальной яме: . Используя условие нормировки, определить постояннуюС.

32. Частица находится в потенциальной яме. Найти отношение разности соседних энергетических уровней E_n+1к энергииE_nв трех случаях: 1).п = 3; 2).п = 10; 3).. Пояснить полученные результаты.

33. Частица в потенциальной яме находится в возбужденном состоянии (п = 2). Определить в каких точках плотность вероятности максимальна и минимальна.

34. Считая выражение для коэффициента отражения от низкой потенциальной ступени и коэффициент прохождения известными, показать, что R +A = 1.

35. Написать уравнения Шредингера для электрона с энергией Е,движущегося в направлении оси Х для областейIиII, если на границе этих областей имеется низкая потенциальная ступеньU₀.

36. Электрон с энергией 25 эВ встречает на своем пути низкую потенциальную ступень высотой 9 эВ. Определить коэффициент преломления волн де Бройля на границе ступени.

37. Определить коэффициент преломления волн де Бройля для протона на границе низкой потенциальной ступени. Кинетическая энергия протона равна 16 эВ, а высота потенциальной ступени равна 9 эВ.

38. Электрон обладает энергией 10 эВ. Определить, во сколько раз изменится его скорость, длина волны и фазовая скорость при прохождении через потенциальную ступень высотой 6 эВ.

39. Электрон с энергией 100 эВ падает на потенциальную ступень высотой 64 эВ. Определить вероятность того, что электрон отразится от ступени.

40. Коэффициент отражения протона от потенциальной ступени равен . Определить, какой процент составляет высота ступени от кинетической энергии падающих протонов.

41. При каком отложении высоты потенциальной ступени и энергии электрона коэффициент отражения равен 0,52.

42. Кинетическая энергия электрона в два раза превышает высоту потенциальной ступени. Определить коэффициент прохождения и коэффициент отражения электронов на границе ступени.

43. На низкую потенциальную ступень падает моноэнергетический поток электронов. Концентрация электронов в падающем потоке равна , а их энергия 100эВ. Определить давление, которое испытывает ступень, если ее высота 9,7эВ.

44. Найти вероятность прохождения электрона через потенциальный барьер при разности энергий , если ширина барьера: 1).d=0,1 нм; 2).d=0,6 нм.

45. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной 0,5 нм. Высота барьера больше энергии электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности, если энергия электрона: 1) Е= 10 эВ; 2)Е= 100 эВ.

46. Ширина потенциального барьера – 0,2нм. Разность энергий . Во сколько раз изменится вероятность прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в 10 раз?

47. Электрон с энергией 9 эВ движется в положительном направлении оси Х. При какой ширине потенциального барьера коэффициент прозрачности D= 0,1 , если высота барьера 10 эВ. Изобразите на рисунке примерный вид волновой функции (действительную часть) в пределах каждой из областейI,II,III.

48. Потенциальный барьер имеет ширину 0,1 нм. При какой разности энергий вероятность прохождения через барьер составит 0,99?

49. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов 10 кВ. Во сколько раз отличаются их коэффициенты прозрачности, если высота барьера равна 20 кВ и ширина 0,1пм.

50. Ядро испускает α-частицы с энергией 5 МэВ. Найти коэффициент прозрачности барьера высотой 10 МэВ и шириной.

51. Электрон с энергией Едвижется в положительном направлении оси Х. При каком значениикоэффициент прозрачности составит 10^-3, если ширина барьера равна 0,1 нм?

52. Электрон в атоме лития переходит с первого уровня на второй. Какой процесс сопровождает этот переход? Дать численные характеристики.

53. Электрон в атоме натрия переходит со второго уровня на первый. Какой процесс сопровождает этот переход? Дать численные характеристики.