1.2. Погрешности прямых измерений

Прямые измерения – измерения, при которых искомое значение физической величины получают непосредственно из опытных данных. К прямым измерениям относятся нахождения напряжения тока, мощности по шкале прибора. Если же мощность определяется по величине напряжения и тока, такое измерение не относится к прямым. В задачу прямого измерения входит определениенаиболее вероятного значения измеряемой величины, учетпоправок насистематическую ошибку вычислениеслучайной иприборной погрешности прямого измерения.

Окончательный результат прямого измерения это наиболее вероятное значение измеряемой величины определяется как среднее арифметическое значение найденных в многократно повторенных наблюдениях.

, (1.3)

где n– число измерений.

При достаточном числе наблюдений в достаточно одинаковых условиях ошибки разного знака будут встречаться одинокого часто и при суммировании почти компенсируют друг друга. Поэтому (1.3) рассматривают, как конченный результат измерения.

1.2.1. Поправки

Если установлена причина какой-нибудь систематической ошибкиx_сист.и найдены ее величины и значения, можно вывестипоправкуx_попр.=-x_сист.и устранить влияние ошибки.

х_испр=х_изм+х_попр(1.4)

Природа систематических ошибок может быть различной.

1. Точное взвешивание гири номиналом 1кг. показало, что действительная ее масса 1,02 кг. При использовании такой гири необходимо ввести поправку

-0,02 кг (1.5)

2. Сопротивление резистора имеет номинал R_н= 20 кОм, однако измерения идут в жидком азоте и сопротивление резистора оказывается больше на 200 Ом. Необходимо учитывать систематическую ошибку введением поправки.

(1.6)

Если величина поправки существенно меньше (менее 0,1) любой погрешности, вызванной другими погрешностями, то его можно пренебречь.

1.2.2. Случайные погрешности

Случайные ошибки, как мы уже говорили, вызываются одновременными действиями очень большого числа факторов. Влияние каждого из них невелико, оно может изменяться хаотично или по какому-либо закону, поэтому суммарные действия всех факторов совершенно хаотично.

В каждом конкретном наблюдении случайная ошибка δхнепредсказуема ни по знаку, ни по величине, однако, она подчиняется статическим закономерностям. Они проявляются при большом числе наблюдений.

Предположим, что проводится измерение некоторой величины х. Пусть систематические погрешности малы и ими можно пренебречь. Для надежной оценки случайных ошибок получены результатых₁, х₂, …, х_n(n-наблюдений). Наиболее вероятное значение измеряемой величины (результат) определяется из (1.3).

Случайное отклонениерезультатаi-го наблюдения от среднегоможет быть большим и малым, положительным или отрицательным, однако, чем больше отклонение, тем оно встречается реже и распределение Δx_iбудет симметричным относительно нулевого значения (рис. 1.1).

При этом оказывается, что приблизительно в 68% случаев отклонения |Δx_i| не превышают некоторую величинуσназываемуюстандартным отклонением, а 32% превышают её. Иначе говоря, с вероятностью 68% отклонение х_iлежит в интервале [-σ; σ]. Для интервала [-2σ; 2σ] эта вероятность составляет 95%, а для [-3σ; 3σ] – 99,7% (рис. 1.1). Соответственно, для любой вероятностиР доверительный интервал [-λ_Pσ;λ_Pσ] определяется числовым множителемλ_P зависящим отР. Например,

λ_0,68=1,0,λ_0,95=2,0,λ_0,997=3,0.

Рис. 1.1. Функция распределения для случайного отклонения

В теории вероятности показано, что можно оценить величину σпо отклонениям Δx_i

, (1.7)

где S– средняя квадратичная погрешность отдельного наблюдения.

Среднее арифметическое совокупности результатов, безусловно, точнее характеризует значение измеренной величины, чем результат только одного наблюдения, поэтому стандартное отклонение среднего результата σ_nменьшеσ. В теории вероятности показано, что, следовательно, средняя квадратичная погрешностьокончательного результата опыта

, (1.8)

а полуширина доверительного интервала

. (1.9)

Чем больше число наблюдений n, тем точнее приближенное равенство (приσ=S), однако, практически нецелесообразно проводить большее число измерений для определения одной величины. В учебных лабораториях, как правило,n~ 10. Это приводит к тому, что при заданной погрешности расширяется интервал Δх, т.е. увеличивается множительλ_P. Причем для различныхnэто увеличение будет различным. Таким образом,λ_Pтрансформируется в новый коэффициентt_n,p– коэффициент Стьюдента (табл. 1.1), причем, в пределе приn→∞;.

Таблица 1.1