Обратное дискретное преобразование Фурье ОДПФ, выполняет функция ifft(X) . Вызов этой функции осуществляется следующим образом.
x = ifft(X);
При использовании ДПФ в пакете MATLAB надо обратить внимание на следующее обстоятельство. Указанные функции производят вычисления по формулам, которые немного отличаются от классических формул (14). Эти формулы в пакете MATLAB выглядят следующим образом.
|
N |
|
i |
2 |
(k 1)( n 1) |
|
|
|
||
X k xn e |
N |
, |
|
k 1, , N |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
(15) |
||
|
1 |
|
N |
|
|
2 |
(k 1)( n |
1) , |
||
|
|
|
|
|
||||||
xn |
|
X k e i |
N |
n 1, , N |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
N k 1 |
|
|
|
|
|
|
23 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства дискретное преобразование Фурье
Отметим важные свойства ДПФ, которые часто используются в приложениях. Сначала несколько слов об обозначениях. Если компоненты вектора x рассматривать как последовательность чисел.
{xn }, n 0, , N 1
то говорят, что эта последовательность имеет длину N . Также называют N - периодом последовательности. Кроме того, часто вектор x называют вектором-сигналом, а вектор ДПФ X называют вектором-спектром.
24
1. Свойства симметрии. Если вещественный вектор x с
периодом N имеет в качестве ДПФ вектор X , то выполняются следующие условия симметрии.
if x X |
then |
X 0* X 0 , |
(16) |
|
|
X n* X N n , |
n 1, , N 1 |
!Доказать самим соотношения (16).
25
Из соотношений (16) вытекают условия симметрии для действительных и мнимых частей компонент вектора X .
|
Re X n Re X N n , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
if x X then |
Im X n Im X N n , |
|||||||||
|
|
X n |
|
|
|
X N n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
arg X n arg X N n
! Доказать самим соотношения (17).
26
2. Линейность. Линейной комбинации векторов соответствуетx1, x2 линейная комбинация ДПФ.
if |
|
|
x1 X1, |
x2 X2 , |
x(t) a x1 b x2 , |
then |
|
(18) |
x X, |
|
|
|
|
|
where |
|
|
Xa X1 b X2
!Доказать самим соотношения (18).
27
3. Циклический сдвиг влево. Циклическому сдвигу влево компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.
if
x(x0 , x1, , xN 1 ) y (x1, x2 , , xN 1, x0 ), x X, y Y,
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
|
|
Yn e |
i |
2 |
n |
X n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство. Запишем ДПФ для векторов |
y Y , и |
|
|||||||||||||||
затем разобью сумму на два члена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
N 1 |
|
2 |
|
|
N 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
k ( N 1) |
|
||
Yk yn e |
i |
|
k n |
yn e |
i |
|
k n |
yN 1 |
e |
i |
|
(20) |
|||||
N |
N |
N |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n 0 |
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменим в формуле (20) компоненты вектора y на компоненты вектора x с помощью условия (19.)
N 1 |
|
2 |
N 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
k ( N 1) |
|
|
Yk yn e |
i |
N k n |
xn 1 e |
i |
N |
k n |
x0 |
e |
i |
N |
|
(21) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
n 0 |
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
2 |
k (m 1) |
x0 e i |
2 |
k e i 2 k |
|
|
||||||
|
xm e i |
N |
N |
|
|
|||||||||||
m1
Всумме (21) была сделана замена индексов n + 1 = m . Учитываем с помощью формулы Эйлера что.
e i 2 k 1
29
Далее выполняем в выражении (21) следующие преобразования.
|
|
N 1 |
|
|
i |
2 k m |
e |
i 2 |
k |
x0 |
e |
i 2 |
k |
e |
i 2 |
k N 1 |
|
i 2 |
k m |
|
|
||||
Yk xm e |
|
N |
|
N |
|
N |
|
|
N |
|
xm e |
N |
|
x0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
(22) |
|
|
i |
2 k |
|
|
|
N 1 |
|
|
i |
2 |
k m |
|
|
i |
2 |
k N 1 |
|
|
i 2 |
k m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
e |
|
N |
|
|
xm e |
|
N |
|
e |
|
N |
xm e |
N |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последняя сумма в выражении (22) является ДПФ для векторов x X . Поэтому окончательно получаем.
Yk e i |
2 |
k X k |
N |
||
Свойство доказано. |
|
30 |
|
|
Следствие. Циклический сдвиг влево на m позиций. Циклическому сдвигу влево на m позиций компонент вектора- сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.
if
x (x0 , x1, , xN 1 ) y (xm , xm 1, , xN 1, x0 , x1, , xm 1 ),
x X, |
y Y, |
(23) |
|||
then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yn e |
i |
2 |
n m |
X n |
|
|
N |
|
|
||
! Доказать самим соотношения (23).
31
4. Циклический сдвиг вправо на m позиций. Циклическому сдвигу вправо на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.
if
x (x0 , x1, , xN 1 ) y (xN m , , xN 2 , xN 1, x0 , , xN m 1 ),
x X, |
y Y, |
||
then |
|
|
(24) |
|
|
|
|
Yn e |
i |
2 n m |
X n |
|
N |
||
|
|
|
|
! Доказать самим соотношения (24).
32