Finite signal
|
s(t) |
|
|
T/2 |
0 |
T/2 |
t |
57
Тогда спектр S( f ) такого сигнала будет равен интегралу с конечными пределами.
T / 2 |
i 2 f t |
|
(45) |
|
S( f ) s(t) e |
d t |
|||
|
|
T / 2
Этот интеграл можно вычислить разными численными методами с большей или меньшей точностью. Мы выберем метод прямоугольников. Проведем дискретизацию сигнала с шагом дискретизации
t TN
58
где N для удобства четное число. Отсчеты сигнала берем в дискретные моменты времени
sn s(tn )
tn n t, n N2 1, 1, 0,1, N2
В методе прямоугольников интеграл (45) заменяем следующей суммой
|
N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
S( f ) sn e i 2 n f t t |
(46) |
||||
n |
N |
1 |
|
||
|
|
|
|||
2 |
|
59 |
|||
|
|
|
|
|
|
Выразим шаг дискретизации через частоту Найквиста
t 21F
Тогда формула (46) примет вид
|
1 |
|
N |
|
|
|
n |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
i |
f |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S( f ) |
sn |
e |
F |
|||||||||
|
|
(47) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2F n |
|
N |
1 |
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
60
Сравним формулу (47) с выражением (36) для спектра дискретного сигнала. Мы видим, что формулы очень похожи.
Отличие в способе нумерации отсчетов дискретного сигнала. В формуле (36) отсчеты нумеруются следующим образом.
s0 , s1, , sN 1 |
(48) |
В формуле (47) нумерация другая.
s |
N |
1 |
, s |
N |
2 |
, , s N |
(49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
2 |
|
|||||
61
Это связано с тем, что в интеграле (45) мы рассматриваем непрерывный сигнал для положительных и отрицательных моментов времени.
Обычно нас интересует спектр, как для положительных значений частоты f 0 ,так и для отрицательных значений
частоты f 0. Поэтому, определим дискретные значения частоты следующим образом
fk k f , |
f |
2 F |
, |
k |
N |
1, |
, |
N |
(50) |
|
N |
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
62
Подставляем дискретные частоты (50) в формулу (47) и получаем
|
1 |
N |
|
|
2 |
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
2 |
|
i |
n k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|||||||
S( fk ) |
|
sn e |
|
|
|
, |
k |
|
1, |
, |
|
(51) |
||
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||
|
2F n |
N |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим для примера, непрерывный сигнал заданный нечетной функцией (смотри лабораторную работу 1)
sin (2 f0 t), |
|
|
t |
|
|
a / 2, |
(52) |
|
|
|
|||||||
s(t) |
0, |
|
|
t |
|
|
a / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
63
Пусть несущая частота в этом импульсе равна Гц, а |
||||
длительность импульса равна соответственно a = 0.2 с. График |
||||
этого сигнала показан на рисунке. |
|
|||
1.5 |
|
Signal |
s(t) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1.5 |
0.2 |
0 |
0.2 |
0.4 |
0.4 |
||||
|
|
t (c) |
|
|
64
Интервал интегрирования пусть будет равен T = 0.4 . Число интервалов пусть будет равно N = 32. Интервал дискретизации будет тогда равен t = 0.0125 .
Discrete signal s(n)
1.5
1
0.5
0 
8 0 8 16
Частота Найквиста в этом случаеnравна F = 40 Гц.
65
Spectrum | S |
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0 |
8 |
0 |
8 |
16 |
16 |
n
66