Дискретное преобразование Фурье и пакет MATLAB
В пакете MATLAB имеются средства для вычисления дискретного преобразования Фурье. Преобразование ДПФ, например, выполняет функция fft(x) . Вызов этой функции осуществляется следующим образом.
X = fft(x);
47
Обратное дискретное преобразование Фурье ОДПФ, выполняет функция ifft(X) . Вызов этой функции осуществляется следующим образом.
x = ifft(X);
При использовании ДПФ в пакете MATLAB надо обратить внимание на следующее обстоятельство. Указанные функции производят вычисления по формулам, которые немного отличаются от классических формул (33).
|
N 1 |
i |
2 |
k n |
|
|
||
X k xn e |
N |
, |
k 0, 1, , N 1 |
|||||
|
|
|
||||||
|
n 0 |
|
|
|
|
(33) |
||
|
1 |
N 1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
xn |
X k e i |
N |
k n , |
n 0, 1, , N 1 |
||||
|
||||||||
|
N k 0 |
|
|
|
|
48 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Эти формулы в пакете MATLAB выглядят следующим образом.
|
N |
|
i |
2 |
(k 1)( n 1) |
|
|
|
||
X k xn e |
N |
, |
|
k 1, , N |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
(34) |
||
|
1 |
|
N |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(k 1)( n |
1) , |
|
||||
xn |
|
X k e i |
N |
n 1, , N |
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
N k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Отличие этих формул связано с тем, что нумерация компонентов векторов в пакете MATLAB начинается с единицы, а не с нуля. Этот момент надо учитывать при программировании. Так, например, свертку в пакете MATLAB надо вычислять следующим образом.
N |
N |
|
ck anbk n 1 ak n 1bn , |
k 1, , 2N |
|
n 1 |
n 1 |
|
49
Дискретное преобразование Фурье и спектр сигналов
До сих пор дискретное преобразование Фурье рассматривалось формально как некоторое линейное преобразование компонент векторов любой природы. Теперь настало время выяснить, какую роль играет дискретное преобразование Фурье в спектральном описании сигналов.
Начнем с дискретного сигнала. Как мы знаем, спектр дискретного сигнала выражается формулой.
|
1 |
|
i |
n |
f |
|
F |
||||
SD ( f ) |
|
sn e |
|
|
(35) |
|
|
|
|||
|
2F n |
|
|
|
|
50
Здесь F - частота Найквиста, а sn отсчеты дискретного сигнала. Предположим, что дискретный сигнал определен конечным набором отсчетов.
{sn }, n 0, , N 1
Другими словами для n 0 или для n N – 1 можно считать sn 0. Поэтому ряд (35) заменяется конечной суммой.
SD ( f ) |
1 |
N 1 |
i |
n |
f |
|
|
|
|||||
|
sn e |
|
F |
|
(36) |
|
|
2F n 0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
51
Спектр дискретного сигнала (36) является непрерывной периодической функцией с периодом 2F . На периоде [0, 2F] выберем N дискретных значений частоты f. Эти значения определим следующим образом.
fk k f , |
f |
2 F |
, |
k 0, , N 1 (37) |
|
N |
|||||
|
|
|
|
В формуле (37) величина f называется шагом частотной дискретизации. Подставим дискретные значения частоты (37) в формулу спектра (36). В результате получим.
|
1 |
N 1 |
i |
n |
fk |
|
1 |
N 1 |
i |
2 |
n k |
|
|
|
|
|
|
||||||||
SD ( fk ) |
|
sn e |
|
F |
|
|
|
sn e |
|
N |
|
(38) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2F n 0 |
|
|
|
|
2F n 0 |
|
|
|
|
||
52
Мы видим, что сумма, стоящая в формуле (38) является ДПФ для последовательности sn .
N 1 |
i |
2 |
n k |
|
|
Sk sn e |
|
, k 0, , N 1 |
(39) |
||
N |
|||||
|
|
|
n 0
Сравнивая формулы (38) и (39) получаем соотношение.
SD ( fk ) |
1 |
Sk |
(40) |
|
2F |
||||
|
|
|
53
Таким образом, дискретный спектр SD ( fk )
дискретного сигнала |
sn выражается через ДПФ Sk от |
дискретного сигнала |
sn по формуле (40). Если ввести векторы |
дискретного сигнала и его дискретного спектра с периодом N .
s(s0 , s1, , sN 1 ),
SD (SD ( f0 ), SD ( f1 ), , SD ( fN 1 ), )
то связь (40) можно изобразить в виде.
s 2F SD |
(41) |
54
Поэтому можно сказать, что дискретное преобразование Фурье является по сути дела, дискретным спектром дискретного сигнала.
Теперь рассмотрим, как связано дискретное преобразование Фурье со спектром непрерывных сигналов. Спектр непрерывного сигнала определяется преобразованием Фурье.
|
i 2 f t |
|
|
|
S( f ) s(t) e |
d t, |
(44) |
||
|
||||
|
|
|
55
Если преобразование Фурье сводится к аналитическим выражениям, то задача нахождения спектра сигнала решается просто. Чаще всего этого сделать невозможно, поэтому приходится вычислять интеграл Фурье численными методами. Рассмотрим финитный сигнал s( t ). Выберем симметричный временной интервал t [ -T/2, T/2 ] такой, чтобы вне этого интервала сигнал равнялся нулю s( t ) = 0.
56