Многочастичные системы

Возьмем простейший случай, когда система содержит две одинаковые частицы. В этом случае система может находиться в одном из четырех глобальных (многочастичных) состояний. Значения глобальных наблюдаемых (характеризующих всю систему в целом) приведены в таблице:

Состояние	Ориентация векторов спина	Энергия, Е, Дж.	Проекция Sz	Проекция z
1	(S1) (S2)	0	– 	+ 2
2	(S1) (S2)	1  10–21	0	0
3	(S1)(S2)	1  10–21	0	0
4	(S1)(S2)	2 10–21	+ 	– 2

Два состояния — второе и третье — характеризуются одинаковыми значениями глобальных наблюдаемых и снаружи неразличимы. Поэтому можно сказать, что двухчастичная система имеет три уровня энергии, второй из которых двукратно (дважды) вырожден:

Статистическая сумма будет теперь содержать четыре слагаемых:

Q = exp(–E₁/) + exp(–E₂/) + exp(–E₃/) + exp(–E₄/)

Два из этих слагаемых одинаковы и поэтому сумму можно представить в более простом виде:

Q = exp(–E₁/) + 2  exp(–E₂/) + exp(–E₄/)

где множитель 2 выступает в качестве статистического весавторого глобального состояния.

При той же температуре (100 K) показатели больцмановских экспонент будут равны:

E₁ / = 0

E₂ / = E₃ / = 1  10^–21 / 1,38  10^–21 = 0,7246

E₄ /= 210^–21 / 1,3810^–21 = 1,4492

Отсюда найдем величину статистической суммы:

Q = exp(–0) + 2 exp(–0,7246) + exp(–1,4492) =

= 1 + 2  0,4845 + 0, 2347 = 2,2037

Соответственно, вероятности найти систему в одном из возможных состояний P_i=exp[–E_i/]/Qбудут равны:

Р₁= 1 / 2,2037 = 0,4538

Р₂=Р₃= 0,4845 / 2,2037 = 0,2198

Р₄= 0,2347 / 2,2037 = 0,1065

Теперь можно легко рассчитать значения макронаблюдаемых:

E = E₁P₁ + 2E₂P₂ + E₄P₄ =

= 00,4538 + 2110^–210,2198 + 210^–210,1065 = 0,652810^–21 [Дж]

S_z = S_z1P₁ + 2S_z2P₂ + S_z4P₄ =

= (–)0,4538 + 200,2198 + (+)0,1065 = – 0,3472

_z = _z1P₁ + 2_z2P₂ + _z4P₄ =

= (+2)0,4538 + 200,2198 + (–2)0,1065 = 0,6944

Сравним макронаблюдаемые для одно- и двухчастичной систем:

Число частиц	Q	E , Дж	Sz,	z ,
1	1,4845	0,326410–21	– 0,1736	0,3472
2	2,2037	0,652810–21	– 0,3472	0,6944

Легко видеть, что для двухчастичной системы макронаблюдаемые имеют удвоенные значения, по сравнению с их аналогами для одночастичной системы. Статистическая сумма Q₂=Q₁Q₁. Обобщая этот результат, получаем важное правило, выполняющееся для многочастичных систем (взаимодействия между частицами должно быть пренебрежимо малым):

статистические суммы:Q(n)=Q₁ Q₂…Q_n

макронаблюдаемые: A(n) = A₁ + A₂ + … + A_n

Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение понятиям "статистическая система", "макронаблюдаемая", "статистический ансамбль", "термостат", "температура", "канонический ансамбль", "статистическая сумма".

2. Приведите методику вычисления статистической суммы.

3. Укажите, какие сведения о строении молекулы необходимо знать для вычисления или оценки статистических сумм для разных степеней свободы.

4. Какие физические и химические задачи можно решать с помощью статистических сумм.