68

ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ

Потенциальная яма — модель системы, в которой частицы могут удаляться от выделенной точки (центра) только на некоторое конечное расстояние. Физическая природа ограничений может быть различной. Так, например, система может быть окружена жесткими стенками, от которых частицы будут отражаться при столкновении; частицы могут быть связаны с центром жесткой или упругой связью и т.д. В любом случае на частицу действует возвращающая сила, заставляющая частицу совершать движения циклического типа в ограниченном объеме пространства.

Ясно, что структуры, наиболее интересные для химиков (атомы, ионы, молекулы) относятся к структурам именно такого типа, так как составляющие их частицы — ядра и электроны — движутся циклическим способом в ограниченном объеме пространства. Поэтому с помощью простой модели потенциальной ямы можно прояснить многие важные особенности атомов и молекул.

Модель "потенциальной ямы" отличается от модели "свободной частицы" тем, что в ней потенциальная энергия частицы отлична от нуля, по крайней мере, в некоторых областях пространства. С физической точки зрения, это означает, что в этих областях пространства на частицу действуют внешние силы, величина которых определяется зависимостью потенциальной энергии от пространственных координат: F = – grad U(x, y, z). Поскольку характер зависимости U от переменных x, y, z может быть весьма разнообразным, существует множество различных конкретных случаев. Среди них можно выделить некоторые стандартные ситуации:

• прямоугольная яма ("потенциальный ящик"),

• цилиндрическая яма ("жесткий плоский ротатор"),

• параболическая яма ("гармонический осциллятор") и др.

Частица в потенциальном ящике в этом случае зависимость потенциальной энергии от пространственных координат имеет следующий вид (для простоты ограничимся одномерным случаем движения вдоль оси х):

В промежутке от х = 0 до х = L потенциальная энергия нулевая, и когда частица находится именно здесь (т.е. внутри "ящика"), на нее не действуют никакие силы. В остальных местах потенциальная энергия бесконечно велика, и поэтому частица не может выйти за пределы ящика: в момент касания стенки на частицу действует бесконечно большая сила, мгновенно обращающая направление ее движения. Другими словами, попав внутрь ящика частица уже не может выбраться за его пределы и вынуждена двигаться от стенки к стенке.

Классическое описание

В классической механике такой тип движения называется возвратно-поступательным: частица все время движется равномерно и прямолинейно (вдоль оси х), но направление движения периодически изменяется на противоположное. Следовательно, классическое описание такой частицы практически ничем не отличается от описания свободной частицы, за исключением некоторой потери определенности относительно направления движения. Все допустимые состояния частицы стационарны и каждое из них можно охарактеризовать двумя взаимосвязанными наблюдаемыми:

• энергия (Е = Т), имеющая определенное и постоянное значение, и всегда представляющей собой кинетическую энергию (за исключением точек возврата),

• импульс р и его проекция на ось х, который может иметь всего два возможных значения р_х = ± р.

При этом выполняется соотношение Т = р²/2m.

В отличие от свободной частицы, для возвратно-поступательного движения можно определить еще одну наблюдаемую: частоту  = р/2mL, имеющую смысл только для достаточно длинных промежутков времени.

Подчеркнем то обстоятельство, что мы можем приготовить классическую частицу в состоянии с любой энергией (импульсом), и это состояние будет стационарным. Отметим две особенности такой системы.

Во-первых, рассмотрим задачу о характере распределения частицы вдоль ящика. Если усреднить результаты наблюдений по достаточно большому промежутку времени, то мы получим полностью равномерное распределение. Действительно, так как частица всегда движется с одной и той же скоростью, то время, за которое она пробегает любой постоянный отрезок пути, будет одним и тем же, независимо от расположения этого отрезка внутри ящика (ближе к центру или к стенкам). Этот результат не зависит ни от величины энергии частицы, ни от размеров ящика..

Во-вторых, если сделать одну из стенок ящика подвижной и медленно (по сравнению с движением самой частицы) вдвигать ее в ящик, уменьшая тем самым его размер, то будет наблюдаться постепенное увеличение энергии частицы. Такой способ изменения энергии механической системы называется адиабатическим. Физический механизм этого явления достаточно понятен: когда частица отражается от неподвижной стенки, ее энергия не изменяется, но когда частица отражается от стенки, движущейся навстречу, она каждый раз приобретает небольшую дополнительную порцию энергии. Условие “медленности” обусловлено тем, что при быстром перемещении стенки частица может не успеть удариться об нее, и изменение размера системы произойдет без изменения энергии. Поэтому, в идеале, адиабатическим можно назвать только бесконечно медленное перемещение стенки. Подчеркнем, что процесс увеличения энергии связан с изменением пространственной координаты и, следовательно, с наличием механической силы (F_x = – dE/dx). Можно сказать, что частица, запертая в ящике, препятствует уменьшению его размера, и такое уменьшение всегда сопряжено с необходимостью преодоления силы сопротивления (давление) и совершения работы, которая и идет на увеличение энергии частицы. Аналогично, если позволить подвижной стенке выдвигаться наружу, то частица сама будет совершать работу над внешней средой, и энергия частицы будет постепенно уменьшаться. С математической точки зрения этот процесс описывается с помощью понятия адиабатического инварианта (I): произведение импульса на размер ящика остается постоянной величиной р • L = I = const, тогда р = I/L и Т = I²/2mL². Другими словами, энергия зависит от размера ящика по квадратичному закону. Заметим, что при уменьшении размера ящика и увеличении скорости движения частицы, частота ее циклического движения будет возрастать вместе с энергией. При этом, отношение Т/ = I = const или Т = Iэнергия пропорциональна частоте). Это соотношение (в виде Е = hчасто трактуется как чисто квантовомеханический закон. В действительности, такое соотношение обусловлено только адиабатическим характером воздействия на замкнутую механическую систему с циклическим типом движения.

Квантовомеханическое описание

В случае квантово-механической системы состояние движения частицы описывается вектором состояния или эквивалентной ему волновой функцией, зависящей от координаты х и от времени. Среди всех возможных состояний нас будут интересовать только некоторые выделенные состояния — стационарные. Для них волновая функция, как обычно, имеет стандартный вид:

(x, t) = (x) • e^{– i t}

а ее пространственная часть (х) является решением стационарного уравнения Шредингера: Н(х) = Е(х). Оператор Гамильтона включает в себя только оператор кинетической энергии (потенциальная энергия во всей доступной области пространства равна 0) и уравнение Шредингера (в промежутке от 0 до L) имеет точно такой же вид, что и для свободной частицы. Общий вид решений получается в точности таким же, что и для свободной частицы:

(х) = А⁺ + В^– = А • ехр[ i(p/)x] + В • ехр[– i(p/)x] .

Принципиальное отличие данного случая заключается в том, что в любой точке за пределами ящика волновая функция должна быть равна 0 (поскольку вероятность найти там частицу равна нулю). Это означает, что на вид возможных волновых функций (решений уравнения) накладываются ограничения (граничные условия):

(х = 0) = 0 и (х = L) = 0.