Подставим эти граничные значения координаты х в выражение для волновой функции и получим:

(0) = А • ехр (0) + В • ехр (0) = А + В = 0

(L) = А • ехр [ i(p/)L] + В • ехр [– i (p/)L] = 0.

Из первого уравнения следует, что В = – А. Сделаем эту подстановку во второе уравнение и получим:

(L) = А {ехр [ i(p/)L] – ехр [–i(p/)L]} = 0.

Разность двух комплексно сопряженных чисел, которая стоит в фигурных скобках, можно преобразовать в соответствии с формулой Муавра (ехр [i • m] = cos [m] + i • sin [m]):

(L) = А {ехр [ i(p/)L] – ехр [–i(p/)L]} = А • 2i • sin [(p/)L] = 0.

Синус равен нулю тогда, когда угол кратен 180°. Следовательно, получаем условие (p/)L =  • n, где n — любое целое число (n = 0, 1, 2,...).

Отсюда следует, что значения импульса и энергии, при которых возможен стационарный тип движения частицы в ящике, определяются формулами:

р = [()/L] • n и Е = [(²²)/2mL²] • n² = R • n²

Константа R может рассматриваться как некоторая единица энергии, величина которой приспособлена к конкретной модели с заданными значениями размера ящика (L) и массы запертой в нем частицы (m).

Таким образом, для микроскопической частицы в ящике стационарными являются не любые состояния, а только некоторые, выделенные в отношении значений импульса и энергии. Поскольку такие состояния образуют дискретное множество, их можно пронумеровать с помощью целого числа n, которое называется поступательным (или трансляционным) квантовым числом.

Полученные результаты можно изобразить графически в виде энергетической и импульсной диаграмм, которые состоят из дискретного множества энергетических или импульсных уровней.

Уровни энергии образуют дискретный набор, расходящийся по квадратичному закону. Для характеристики подобных закономерностей часто используют понятие плотности уровней, которая равна числу уровней энергии, приходящихся на единичный интервал энергетической шкалы:  = dN/dE. Для рассматриваемого случая плотность уровней уменьшается по мере возрастания энергии по закону:  ~ 1/E². Подчеркнем, что уровни энергии не вырождены, т.е. одному значению энергии отвечает одно состояние.

В связи с дискретным характером допустимых значений энергии, можно поставить такой вопрос: что произойдет, если приготовить частицу с начальной энергией, не совпадающей ни с одним из разрешенных значений? Такое начальное состояние будет нестационарным и с течением времени будет эволюционировать: в зависимости от внешнего окружения частица или потеряет или приобретет некоторое количество энергии. Эволюция закончится когда энергия частицы совпадет с одним из разрешенных значений.

Характер такой эволюции можно изобразить следующей схемой:

При любом начальном значении за малый промежуток времени (t*) энергия приобретет одно из стационарных значений и в дальнейшем будет оставаться постоянной. Механизм такой релаксации, обычно связан с электромагнитным взаимодействием между заряженной частицей и окружающей средой.

Поскольку время релаксации очень мало́ (для электронов t* ~ 10^–8 с), то для больших промежутков времени можно вообще не принимать во внимание возможность короткоживущих нестационарных состояний и ограничиться рассмотрением только стационарных состояний. Именно такая ситуация имеет место в химии. Химические процессы сравнительно медленны, и поэтому короткоживущие нестационарные состояния атомов и молекул не оказывают на их протекание никакого влияния.