24

Векторы

Вектораминазываются математические объекты (a,b,c, …), для которых определено выполнение двух алгебраических операций:

• сложение двух векторовa + b ₌ c

• умножение вектора на число  •а ₌ b .

Наиболее существенной особенностью этих операций является то, что в результате их выполнения всегда получается вектор того же типа, что и исходные векторы. Поэтому, имея некоторый исходный набор векторов, мы можем постепенно расширять его, т.е. получать все новые и новые векторы, применяя к уже имеющимся векторам операции сложения и умножения на число. В конце концов мы придем к такому множеству векторов, которое уже больше не будет расширяться, т.е. окажется замкнутым относительно указанных операций. Такое множество векторов называетсявекторным пространством.

Если при выполнении указанных операций выполняются дополнительные условия линейности:

(a + b) = a + b

(+)a=a + b

то получающееся пространство называется линейным пространством(ЛП) илилинейным векторным пространством(ЛВП). ЛВП может, наряду с группами симметрии, служить еще одним примером математических структур,представляющих собой замкнутые множества однотипных и упорядоченных определенным образом (с помощью алгебраических операций) объектов.

Линейные комбинации

Располагая операциями сложения векторов и умножения их на числа, можно построить и более сложную конструкцию типа:

a ₊ b ₊ c ₊ ..... ₌ x

которая называется линейной комбинацией(ЛК) векторовa, b, c, . . . c коэффициентами,,, . . ., соответственно.

Понятие ЛК позволяет сформулировать несколько общих правил:

• всякая ЛК любых векторов некоторого ЛП также является вектором того же самого ЛП;

• любой вектор некоторого ЛП может быть представлен в виде ЛК нескольких векторов того же самого ЛП;

• в любом ЛП существует такой выделенный набор векторов, называемый базисным набором(или простобазисом), что все, без исключения, векторы этого ЛП могут быть представлены как линейные комбинации этих выделенных базисных векторов. На векторы, выбираемые в качестве базисных, накладывается одно важное условие: они должны бытьлинейнонезависимы между собой (не должны выражаться друг через друга, т.е.:x≠y).

Эти правила дают возможность ввести специальный способ описания любого ЛП. Выберем базисный набор и разложим все интересующие нас векторы по этому базису (т.е. представим их в виде ЛК базисных векторов); тогда каждый вектор можно однозначно задать посредством набора коэффициентов ЛК, соответствующей данному вектору. Такие коэффициенты называются координатамивектора (по отношению к заданному базису). Подчеркнем, что координаты вектора — это обыкновенные числа, и координатное представление вектора позволяет описать его посредством только совокупности чисел, независимо от конкретного физического смысла, вкладываемого нами в понятие вектора.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть у нас имеется набор различных смесей двух чистых химических веществ: воды и спирта. Среди всех возможных смесей выделим две особых:

1) смесь S₁, содержащая 100 % воды и 0 % спирта;

2) смесь S₂, содержащая 0 % воды и 100 % спирта.

Ясно, что произвольную смесь можно представить в виде ЛК этих двух базисных смесей:

S = n₁ * S₁ + n₂ * S₂

и полностью охарактеризовать ее всего двумя числами-координатами: n₁иn₂. Другими словами, при заданном базисном наборе, мы можем установить эквивалентность произвольной химической смеси и набора чисел:

_{S ~ {n1, n2}.}

Теперь достаточно заменить конкретное химическое слово "смесь" на абстрактный математический термин "вектор", чтобы получить модель ЛВП, описывающую множество смесей двух веществ.