Координатное представление векторов

Координаты вектора — это числа х₁,х₂,х₃, . . . , являющиеся коэффициентами ЛК:

х = х₁ е₁ + х₂ е₂ + х₃ е₃ + . . . .,

где е₁, е₂, е₃, . . . — базисные векторы (базис).

Координаты векторов принято записывать двумя альтернативными способами:

Подчеркнем, что вектор-столбец принято отмечать чертой над символом вектора, а вектор-строку — чертойподсимволом вектора. Вектор-столбцы часто называютконтравариантнымивекторами (контра-векторами), а вектор-строки —ковариантнымивекторами (ко-векторами). С математической точки зрения контра-и ковекторы полностью эквивалентны, однако они могут использоваться для обозначения различных типов физических объектов.

Важную роль играет следующее обстоятельство: выбор базиса неоднозначен и в любом ЛП возможных базисов бесконечно много, однако все они содержат одно и то же число базисных векторов. Это фундаментальное число называется размерностьюЛП.

Координатное представление позволяет очень просто и наглядно выполнять операции над векторами.

При сложении двух векторов складываются их координаты, расположенные на одинаковых позициях. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Если мы имеем линейную комбинацию, то любая координата результирующего вектора будет получаться как линейная комбинация координат исходных векторов, расположенных на соответствующих позициях.

Наконец отметим, что координатное представление базисных векторов имеет особенно простой вид: каждый базисный вектор имеет одну координату (под номером, совпадающим с номером данного базисного вектора), равную единице, а все остальные его координаты равны нулю:

Используя координатное представление, можно ввести еще одну операцию, которая выполняется над парой векторов. Эта операция называется скалярным умножениемвекторов и изображается одним из следующих способов:

 = (x, y) = x  y =  x | y 

Сомножитель, идущий первым, всегда представляет собой ко-вектор (вектор-строку), тогда как второй сомножитель всегда являетсяконтра-вектором (вектор-столбцом). Результатом этой операции являетсячисло, называемоескалярным произведениемвекторов, значение которого можно рассчитать через координаты векторовхиу по формуле :

Аналогичным образом можно найти и скалярный квадрат вектора, т.е. произведение вектора "на себя":

Скалярный квадрат вектора называют также квадратом модулявектора, поскольку корень квадратный из произведения вектора на себя называетсямодулемвектора

С помощью скалярного умножения можно ввести метрические понятия в модель ЛВП, т.е. определить длины векторов и углы между ними. В качестве длинывектора принимается величина его модуля.Угол между двумя векторами() определяется по формуле:

Отметим следующее обстоятельство: при умножении вектора на некоторое число его модуль (длина) увеличивается враз, тогда как ориентация (углы относительно всех остальных векторов) остается неизменной. Таким образом, среди всех векторов мы можем выделить такие их подмножества, в которые входят все векторы одной и той же ориентации, но отличающиеся друг от друга длиной. Такие подмножества сами по себе образуют ЛП с размерностью 1 и называются обычнолучами. В каждом луче можно выделить один особый вектор, длина которого равна единице. Такой вектор служит представителем данного луча и называетсянормированным.

Любой другой вектор можно получить из нормированного посредством умножения на некоторое число или свести к нормированному посредством операции, называемой нормировкой(нормированием). При нормировке каждая координата вектора делится на величину модуля этого вектора. Например, трехмерный векторх= (3, 5, 8) имеет длину:

и, следовательно, является ненормированным. Для нормировки разделим все координаты на 10 и получим нормированный вектор

х' = (3/10 , 5/10 , 8/10 )

совпадающий по направлению с исходным (т.е. принадлежащий тому же лучу), но уже имеющий единичную длину.