Частица в цилиндрической яме (плоский ротатор)
Рассмотрим вариант предыдущей модели ("частица, запертая в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками"), в котором две противоположные стенки ямы "склеены" друг с другом таким образом, что одномерная яма с длиной L превращается в яму в виде вертикального цилиндра с радиусом r = L/2. Физическую модель такой ямы можно получить, если в твердом материале прорезать плоский кольцевой канал и запустить в него частицу. Не имея возможности проникнуть внутрь материала, частица будет вынуждена двигаться только по окружности. Совершенно аналогичную картину можно получить, если закрепить частицу на тонкой кольцевой проволоке или на конце жесткого стержня длины r, который, в свою очередь, может свободно вращаться вокруг некоторой оси.
Ясно, что такие модели описывают особый случай механического движения — вращение. Поэтому описанная модель называется жестким плоским ротатором. Определение "жесткий" обусловлено неизменностью радиуса r, а определение "плоский" связано с тем фактом, что вращательное движение единственной частицы происходит всегда в некоторой постоянной плоскости, перпендикулярной оси вращения (направление оси и ориентация плоскости задаются начальными условиями). Существуют и более сложные структуры, вращательное движение в которых является нежестким и/или неплоским. Например, электрон в атоме описывается моделью нежесткого сферического ротатора. Тем не менее, основные особенности вращательного движения можно проследить и на самом простом случае жесткого плоского ротатора.
Подчеркнем, что данная система является одномерной, т.е. для полного задания текущего состояния системы достаточно указать только одно число — угол поворота (), достигнутый частицей к данному моменту времени. Все остальные наблюдаемые должны быть либо постоянными, либо однозначно выражаться через величину этого угла.
Классическое описание
В классическом варианте вращательное движение описывается очень просто: (t) = • t, где константа — угловая скорость (частота вращения), выраженная в радианах/сек. Энергия (чисто кинетическая) для ротатора определяется стандартным способом
Е = mv2/2 = m2r2/2 = L2/2I
где параметр L = r • mv называется механическим моментом (моментом импульса, моментом количества движения) ротатора, а константа I = mr2 — моментом инерции. По виду формул легко заметить, что момент импульса L —это аналог обычного импульса при прямолинейном движении, а момент инерции I — аналог массы (мера инерции ротатора). Необходимо иметь в виду одно существенное отличие: механический момент — это вектор, направленный вдоль оси вращения, т.е. он всегда перпендикулярен плоскости вращения и вектору линейной скорости вращающейся частицы.
Следует отметить, что векторные величины в КМ, обычно, характеризуются величиной (модулем) и ориентацией, которая задается величиной проекции вектора на одну из координатных осей. Поэтому необходимо различать две наблюдаемые: |L| — модуль и Lz — проекцию. В случае плоского ротатора ориентация вектора L строго определена — вектор направлен точно вдоль оси вращения, но направление его может быть двояким. Если частица вращается против часовой стрелки (при наблюдении сверху), то вектор направлен вверх и его проекция считается положительной. Напротив, если частица вращается по часовой стрелке, вектор направлен вниз и его проекция будет иметь отрицательную величину. Таким образом, механический момент плоского ротатора характеризуется одним числом L, но двумя параметрами: модулем |L| = L и проекцией Lz = ± L.
Численные величины параметров , E, L, I для классического жесткого ротатора сохраняются во времени, и полностью задаются начальными условиями. Можно сказать, что любое начальное состояние вращения будет стационарным. Если вращающаяся частица электрически заряжена, то, из-за ускоренного характера вращательного движения, ротатор будет непрерывно излучать электромагнитную волну. В конце концов, это приведет к полной потере энергии и остановке ротатора. Другими словами, для электрически заряженного ротатора в классическом варианте стационарных состояний нет вообще.
Квантовомеханическое описание
Обратимся теперь к квантовомеханической точке зрения. В этом случае состояния ротатора должны описываться волновыми функциями Ф, зависящими только от одной пространственной переменной — угла . Среди них могут существовать некоторые особые состояния — стационарные, для которых зависимость от времени выражается стандартным образом:
Ф(,t) = Ф() • eхр[i(E/)t]
Пространственная часть волновой функции должна подчиняться стационарному уравнению Шредингера: НФ() = ЕФ().
Оператор Гамильтона для плоского вращения включает только оператор кинетической энергии (потенциальная энергия на всей окружности вращения равна 0), и уравнение Шредингера выглядит следующим образом:
Легко заметить, что это уравнение выглядит точно так же, как и для свободной частицы или частицы в ящике. Вся разница только в обозначении переменной — вместо координаты х стоит координата . Следовательно, и вид решений этого уравнения должен быть совершенно такой же:
Ф() = Ае im + Be –im , где m = L/
Каждая экспонента представляет собой частное решение, а общее решение является суперпозицией частных, причем коэффициенты суперпозиции (А и В) определяются начальными условиями. Заметим, что в этом решении величина p (импульс) заменена на L (момент импульса), а константа k — на другую константу m.
Как и в случае с потенциальным ящиком, в данном случае имеются определенные граничные условия: состояния ротатора отличающиеся между собой целым числом оборотов, физически (т.е. экспериментально) неразличимы. Следовательно, волновая функция должна в точности повторяться через каждое приращение аргумента (угла ) на величину 2:
Ф() = Ф( + 2).
Построим две функции для разных аргументов:
Ф() = Ae im + Be –im
Ф( + 2) = Aeim( + 2 ) + Be–im( + 2 ) = Aeimeim2 + Be–ime–im2
Легко заметить, что требуемое равенство этих двух функций будет наблюдаться при условии:
e im2 = e–im2 = 1
Комплексная экспонента равна 1 только тогда, когда ее фаза кратна 2:
m • 2 = k • 2 , где k — любое целое число.
Отсюда вытекает, что константа m может иметь только целочисленные значения: m = 0, 1, 2, 3 . . . . . . , вследствие чего m называется вращательным квантовым числом. Следовательно, учет граничных условий приводит к выделению некоторых разрешенных значений момента и энергии:
|L| = m = 0, , 2 , 3 . . . Lz = ± m = 0, ±, ±2 , ±3 . . .
E = L2/2I = b • m2 = 0, b, 4b, 9b . .
(здесь b = 2/2I — вращательная постоянная)