Комплексные векторы
В квантовой механике широко применяют векторы, координаты которых могут быть комплексными числами. В этом случае имеются некоторые особенности в правилах построения скалярного произведения. Они, в основном, сводятся к установлению соотношения между ко- и контравекторами. В квантовой механике ковекторы принято обозначать символом x | и называтьбра-векторами, тогда как контравекторы обозначаются символом |x и называются кет-векторами. Один и то же вектор можно представить и в виде бра-вектора, и в виде кет-вектора. При этом они будут отличаться друг от друга не просто способом расположения (горизонтальным или вертикальным) чисел-координат, но и тем, что их координаты (с одними и теми же номерами) являются комплексно сопряженными между собой. (Комплексно сопряженными являются два комплексных числа, отличающиеся только знаком при мнимой части. Например,Z= 2 + 3i иZ* = 2 – 3i. ) Особенность взаимно сопряженных комплексных чисел состоит в том, что их произведение, называемоеквадратом модуля комплексного числа, всегда является действительным числом. Например:
| Z |2 = Z Z* = (2 + 3i)(2 – 3i) = 22 + 32 = 13
Поэтому, если перемножить (в смысле скалярного умножения) два вектора, координаты которых взаимно сопряжены, то квадрат модуля любого вектора будет не только действительным, но и положительным числом. Следовательно, из него всегда можно извлечь корень и определить длину (модуль) вектора. Подчеркнем, что два вектора, отличающиеся типом (бра- и кет-), и координаты которых взаимно комплексно сопряжены, называютсясопряженнымивекторами (или, более полно,эрмитово сопряженными), что отмечается верхним индексом (+).
Если векторы-сомножители различны, то их скалярное произведение не будет действительным числом. Такие комплексные числа, являющиеся скалярным произведением двух комплексных векторов:
С = х|у
называются квантовомеханическими амплитудамии занимают центральное место в математическом аппарате квантовой механики. Отсюда понятно и происхождение названия: первая половина скобки (от англ. —bracket), изображающей скалярное произведение, называется бра-, а вторая половина — кет-вектором.
Функциональное представление векторов
Иногда приходится иметь дело с векторами многомерных ЛВП, имеющими очень много координат. Встречаются даже бесконечномерные пространства, как например, в квантовой механике.
Очевидно, что для такого вектора привести все координаты в явном виде практически невозможно. Однако в подавляющем большинстве случаев между отдельными координатами таких векторов можно установить взаимосвязь — она заключается в том, что соседние (в отношении их номеров) координаты имеют близкие значения. Это позволяет рассматривать координаты вектора как значения некоторой непрерывной алгебраической функции. Например, легко представить себе вектор, i-я координата которого удовлетворяет уравнениюxi=sin(i). Поэтому между векторами и функциями существует определенное соответствие, которое позволяет, с одной стороны, трактовать всякую функцию как бесконечномерный вектор, а с другой — экономно описывать векторы через функции. Такие функции называютсяфункциональными представлениями векторов.
Например, широко использующиеся в квантовой механике волновые функциипредставляют собой функциональные представления квантовомеханических векторов состояния. Другими словами, каждое значение волновой функции является некоторой координатой вектора состояния.
В заключение подчеркнем, что векторы используются как математические модели некоторых физических или химических объектов. При этом, физико-химический смысл этих объектов никак не отражается на свойствах самих векторов, которые (свойства) всегда остаются постоянными и определенными лишь аксиомами линейной алгебры. Именно это и делает векторную модель универсальной. Одни и те же правила обращения с векторами мы можем применять для самых разных случаев. За абстрактными векторами могут стоять различные по природе объекты:
геометрические векторы-стрелки,
механические движения,
химические реакции,
смеси химических веществ и т.д.
Аналогично за абстрактными операциями сложения векторов и умножения их на число может стоять:
сложение векторов-стрелок по правилу параллелограмма,
перемещение объекта во времени или в пространстве,
последовательное проведение химических реакций,
смешивание нескольких веществ и т.д.
В тех же случаях, когда конкретные физико-химические особенности объектов имеют существенное значение, и мы не можем от них абстрагироваться, это означает, что векторная модель к ним неприменима.