Исторические справки. Матрицы

Математика - это большой город, чьи предместья не перестают разрастаться, в то время как центр периодически перестраивает­ся, следуя каждый раз все более ясному плану и стремясь к все более и более величественно­му расположению, в то время как ... старые кварталы с их лабиринтом переулков сносятся для того, чтобы проложить к окраине улицы все более прямые, все более широкие и удоб­ные.

Н. Бурбаки. «История математики»

Мы видели, как довольно естественно с системой линейных уравнений со­относится матричное уравнение и две матрицы: основная и расширенная. При решении такой системы ее уравнения преобразуют, чтобы их упростить: умно­жают на подходящие числа, проводят замену уравнений системы на сумму или разность его с другими и т.д. - по существу все эти операции проделываются с соответствующими коэффициентами уравнений системы - элементами строк ее расширенной матрицы. Так что выделение таблицы коэффициентов системы линейных уравнений и замена действий с ее уравнениями на те же самые дейст­вия со строками ее расширенной матрицы оказалось удобным и привело еще в XVII веке к понятию матрицы. (Немецкое - Matrize - от латинского слова matrix, что означает - источник, начало).

Попытки ответить на вопросы, как по матрице системы линейных уравне­ний узнать, когда система имеет решения, а когда они отсутствуют, и в первом случае - сколько их, привели к важному понятию в теории матриц определителя или детерминанта. Оно по своим идеям восходит к немецким математикам Г. Лейбницу, К. Ф. Гауссу (Gauss Carl Friedrich, 1777 - 1855) и Г. Крамеру (Cramer Gabriel, 1704 - 1725). Другое важное понятие - ранг матрицы, было введено не­мецким математиком Г. Фробениусом (Frobenius Ferdinand Georg, 1849 - 1917), который внес вклад в эту теорию и разработал ее приложения в механике.

Хотя еще с середины XVII века матрицы использовались Лейбницем, только ко второй половине XIX века матрицы, независимо от систем уравнений, стали объектом самостоятельных исследований и, видимо, прежде всех - в рабо­тах ирландского математика У. Р. Гамильтона (Hamilton William Rowan, 1805 -1865), затем - английских: А. Кэли (Cayley Artur, 1821 - 1895) и Дж. Сильвестра (Silvester James Josef, 1814 - 1897).

Дело в том, что операции над матрицами (сложение, умножение матриц и умножение скаляра на матрицу) возникли как технический аппарат при реше­нии задачи весьма далекой от проблем теории линейных уравнений - придании геометрического истолкования некоторым обобщениям чисел - кватернионам, которые были открыты Гамильтоном в 1843 году и составляли интерес для мно­гих математиков середины XIX века.

Основные идеи матричной алгебры были сформулированы Кэли в 1858 году в работе "A Memoir on the Theory of Matrices" («Мемуар по теории мат­риц»). Он развил некое исчисление, вводя числа специального вида, которые охватывали, как частный случай, известные к тому времени действительные и комплексные числа и кватернионы. В основе его теории лежали именно такие действия с матрицами, что аналогами их были действия с уже изучавшимися в то время математиками и механиками линейными отображениями векторных пространств. Так странное на первый взгляд правило умножения матриц соот­ветствует композиции таких отображений. Интересно знать, что именно Кэли ввел одно из современных обозначений матрицы - две вертикальные черты:

.

Позднее глубокие результаты в теории матриц были получены К. Вейерштрассом (Weierstrap Karl Theodor Wilhelm, 1815 - 1897), Г. Фробениусом - не­мецкими математиками, и французом - Э. Жорданом (Jordan Marie Emanuel Camille, 1838 - 1922), они стали классическими в теории матриц и носят их име­на.

Можно сказать, что в современной математике нет, пожалуй, почти ни од­ного серьезного раздела, в котором в той или иной степени не использовались бы достижения теории матриц. При этом именно в силу поразительной универ­сальности матричного аппарата, результаты отдельной задачи, исследования, зачастую принимают общий и более глубокий характер, связывающий между собой, казалось бы, довольно далекие проблемы. К примерам подобного можно отнести и такие вопросы настоящего курса, как закон инерции квадратичных форм и проблемы приведения линейного оператора к каноническому виду, за­коны изменения координат точек при аффинных преобразованиях и движениях плоскости и пространства, проективных преобразованиях проективных про­странств и многое другое.

Без матричной техники немыслимы и многие разделы современной физи­ки, механики и оптики, квантовой механики, еще отметим, что координатное (матричное) пространство будет основным в моделировании систем аксиом раз­личных геометрий, с которыми предстоит знакомство в настоящем курсе - гео­метрий, кажущихся сначала фантастическими, но, тем не менее, реальными и даже реализованными не только в умозрительной математике, но и в ее прило­жениях в физике, теории относительности и т. д.