Биективные отображения

Высшее назначение математики - нахо­дить скрытый порядок в мире хаоса, который нас окружает.

Н. Винер. «Я - математик»

Знакомясь с историей основных понятий математики, хотя бы таких, как теория множеств и отображений, мы видим, что она совсем непроста и даже драматична, а метод дедуктивных рассуждений - основа математических дока­зательств, приводит к следствиям из очевидных утверждений, которые иногда кажутся противоречащими интуиции и здравому смыслу. Из известной аксиомы Цермелло (Пусть да­но множество М состоящее из попарно непересекающихся множеств М_ , тогда существует множество М, каждый элемент m_ которого принадлежит неко­торому М_ причем М  М_ = m_ ) вытекает уди­вительная возможность разбиения шара на конечное число частей, из которых движениями в пространстве (т. е. сохраняя расстояния) можно составить два та­ких же шара.

Иногда такие «противоречия» говорят о несовершенстве дедуктивного ме­тода или системы аксиом, но зачастую открывают совершенно неочевидные, но истинно глубинные и глобальные закономерности.

К таким кажущимся противоречиям относится равномощность множеств точек прямой и ее любого интервала. Посмотрим на эту проблему с другой сто­роны. Понятно, что точек, как прямой, так и плоскости бесконечно много, но где больше? После того, как мы установили биективность отображения прямой в интервал, поспешного ответа, видимо, стоит остеречься. Прежде всего, оче­видно, что способом, аналогичным доказательству равномощности прямой и интервала, можно показать равномощность множеств точек плоскости и квадра­та без ограничивающих его отрезков. Это сведет задачу сравнения мощностей прямой и плоскости к сравнению равномощных им интервала и квадрата. При­ведем рассуждения Кантора.

Множество точек квадрата естественным образом отождествимо с множе­ством кортежей <х,у> с бесконечными десятичными дробями вида 0, a₁,a₂,a_3…, которые мы предполагаем записанными в бесконечном виде (см. пример 12.1, т.е. не принимается запись дробей с конечным числом значащих цифр). Идея Кантора заключается в том, чтобы слить эти дроби в одну десятичную дробь, по которой однозначно восстанавливались бы х и у (in), и которая принимала бы все положительные значения, не превосходящие 1 (sur), по одному разу (ото­бражение), когда точка <х, у> пробегает по всему квадрату (Dom). Тем самым было бы получено биективное отображение квадрата на единичный отрезок.

Казалось бы, такое соответствие просто установить, положив f(<0,a₁,a₂,a₃..., 0,b₁,b₂,b₃ >) ⁼ 0,а₁b₁а₂b₂a₃b_{3 ,}… (Отметим, что отношение F = {<<0,a₁,a₂,a₃..., 0,b₁,b₂,b₃ >, 0,а₁b₁а₂b₂a₃b_{3 , …}>}, очевидно есть отображение, так как кортежем <0,a₁,a₂,a₃..., 0,b₁,b₂,b₃ > однозначно определяется число 0,а₁b₁а₂b₂a₃b₃...). И по дроби 0,а₁b₁а₂b₂a₃b₃..., отделяя числа на четных и нечетных местах после запятой, можно восстановить х= 0,a₁,a₂,a₃..., и у= 0,b₁,b₂,b₃... однозначно, что и означает инъективность отображения: кортеж <<х,у>, 0,а₁b₁а₂b₂a₃b₃... >  F с произвольным фиксированным 0,а₁b₁а₂b₂a₃b₃...единствен.

Однако оказывается, что определенное так отображение не сюръективно, потому что образом элемента <х,у> хотя и является бесконечная десятичная дробь, не превосходящая 1, но существуют бесконечные десятичные дроби, (например, вида 0,с₁с₂0с₄0с₆... ), которые получаются только из конечных дробей. Для однозначности представления чисел в десятичной записи такое представление мы исключили из рассмотрения (так при z = 0,с₁с₂0с₄0с₆... по­лучим х= 0, с₁, 00... - с конечным числом ненулевых значащих цифр после за­пятой, а у=0,с₂с₄с₆...). Обойти это противоречие можно, взяв за a₁,a₂,a₃..., b₁,b₂,b₃... не отдельные цифры, а, как назвал их Кантор, «молекулы десятич­ной дроби», соединяя в одно целое любую ненулевую значащую цифру с пред­шествующим нулем. Например, если z = 0,3208007000302405... , то с₁ = 3, с₂ = 1, c₃ = 08, с₄ = 007, с₅ = 0003, c₆ = 2, c₇ = 4, C_g = 05,.... Несколько изменим пра­вило: пусть теперь а₁,b₁,а₂,b₂,a₃,b₃ и т. д. обозначают не числа, стоящие, со­ответственно, на нечетных и четных местах после запятой, а такие «молекулы». Тогда любому <x, y> однозначно соответствует бесконечная дробь z, которая, в свою очередь, однозначно определяет и х и у, распадаясь на две дроби с беско­нечным числом «молекул», т. е. бесконечные десятичные дроби. Такое отобра­жение инъективно, т. е. по х и у число z получается однозначно, и всякое z ]0,l[ может возникнуть только однажды.

Это биективное отображение и устанавливает равномощность квадрата и интервала, что, в конечном счете, приводит к утверждению, что плоскость и пря­мая имеют одинаковую мощность континуум, или равномощность множеств R и R² .

Обобщение этого доказательства на произвольную степень Rⁿ вполне очевидно. Г. Кантор в течение трех лет с 1874 года пытался доказать невозмож­ность биективного соответствия между множествами R и R² при n>1, пока он к своему удивлению не построил его. «Я это вижу, но не верю в это» - писал он Дедекинду...