Модель неймана

Рассмотрим более общую модель Неймана. Рассмотрим экономику, описываемую парой (С,К), где С – пространство товаров, а К- множество производственных процессов, перерабатывающих некоторое количество товаров в другие количества тех же товаров. Под товаром (продуктом) понимаем как первичные факторы производства (земля, труд) и сырье (нефть, уголь), так и конечные продукты производства, услуги и т.п.

Пусть товаров всего n, тогда С есть неотрицательный ортант п-мерного пространства. Множество К производственных процессов имеет в своей основе конечное число процессов (Q₁,...,Q_m), которые называются базисными. Каждый базисный процесс представляет собой пару векторов Q_j = (A_j,B_i) из С (векторы A_j, B_j – это векторы – столбцы!).

Содержательный смысл процесса Q_j таков: он затрачивает вектор A_j = (a_ij) и выпускает вектор B_j = (b_ij) т.е. перерабатывает вектор A_j в вектор B_j. По смыслу все векторы A_j и B_j неотрицательны. Обозначив

A = (A₁,...,A_m), B = (B₁,...,B_m), получаем, что технология нашей модели задается парой неотрицательных матриц А и В ; матрица А называется матрицей затрат, В – матрицей выпуска.

Комбинируя базисные процессы, можно получить новые процессы. Так возьмем неотрицательные числа z_i, i = 1,...,m и определим новый производственный процесс z₁Q₁+...+z_mQ_m, в котором затраты есть вектор z_kA_k, а выпуск есть вектор z_kB_k: полученный производственный процесс кратко обозначим (AZ, BZ).

Вектор столбец Z = (z_i) называется вектором интенсивностей. Получившиеся более широкое множество процессов и обозначим через К.

Можно заметить, что в то время как базисные процессы Q₁,...,Q_m соответствуют, вообще говоря, реальным отраслям, заводам, фабрикам, каждый элемент (X, Y)K есть некоторый фиктивный процесс, описывающий определенный режим совместной работы этих отраслей, заводов, фабрик.

Рассмотренная ранее модель Леонтьева действительно есть частный случай модели Неймана при n=m, B=E. Основное отличие модели Неймана состоит в том, что всякий базисный процесс может выпускать не один продукт. Ясно также, что Модель Неймана Линейна.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Решим стандартную задачу на модель Леонтьева.

Даны: вектор непроизводственного потребления

и матрица межотраслевого баланса. Найти вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.

РЕШЕНИЕ: Известно, что X = (E - A)^-1C. Следовательно, надо найти матрицу, обратную к (Е - А). Для этого можно воспользоваться любым методом, например с помощью миноров.

ПОЛУЧАЕМ:

и, значит, .

2. Решим стандартную задачу на модель Неймана.

Даны матрицы

технологических процессов, вектор цен P = (1,5) и вектор начальных запасов

.

Найдем интенсивности технологических процессов, максимизирующие стоимость выпуска продукции за один производственный цикл, и эту саму максимальную стоимость.

РЕШЕНИЕ: Пусть - вектор – столбец искомых интенсивностей, тогда для их нахождения имеем задачу линейного программирования.PBZ  max, AZ  S, или в развернутой форме:

Решим эту задачу графическим методом: Точка максимума (0;28) и максимальная стоимость продукции, которая может быть выпущена за один цикл, равна 224.

Z₂

(30,80)

0 z₂