Введение.

Зачем студентам-гуманитариям точные формулировки определений, аксиом, доказательства теорем? Для того чтобы ответить на этот вопрос, сделаем несколько замечаний.

Две основные задачи стоят перед любым человеческим сообществом: создание и распределение. Как во взаимодействии с природой создать побольше благ, то есть всего того, что делает жизнь человека более привлекательной?

Как распределить затраты на создание благ и создание между входящими в данное сообщество индивидами? По тому, сколь успешно решает сообщество эти две главные задачи, можно судить о степени его развития?

Чем тут может помочь наука? Естественные и технические науки помогают создать блага, видоизменять природу, но так, чтобы не разрушить хрупкую среду обитания человека. О практических успехах естественных наук судят по материализации идеи: по тем предметам, которые удалось создать с помощью науки. Гуманитарные науки в основном связаны не с процессом создания благ, а с их распределением. Экономика, социология, политология, социальная психология, юриспруденция ищут способы разумной внутренней организации общества, об их практических достоинствах судят по тому, как они влияют на создание людей и какое получается при этом общество.

Положение математики особое. Она возникла, и долго развивалась как язык естественных наук, в основном физики и инженерного дела. Все крупные технические достижения – от строительства зданий и мостов до раскрепощения атомной энергии, сверхзвуковой авиации и космических полетов – были бы невозможны без математики.

Однако гуманитарные науки также всё больше нуждаются в формализованном языке, причём не столько для овеществления своих идей, сколько для анализа очень непростой логики взаимодействия людей. На вопрос «для чего изучают математику?» замечательно ответил еще в ХIII веке английский философ и естествоиспытатель Роджер Бэкон: «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества»

Отметим и еще одну, особую роль математики как дисциплины, развивающей интеллектуальные и творческие способности человека. Лучшего средства для их совершенствования пока не найдено.

Существует два взгляда на математику и её роль среди других наук в процессе обучения. Первый считает, что математика-это нечто самостоятельное, само ценное. Второй это признаёт также, но в основном, считает математику инструментом, владение которым не только полезно, но и необходимо. Несомненно, математика имеет определённое мировоззренческое значение, но для специалиста «государственного и муниципального управления»- «менеджера», математика является в большой мере инструментом анализа, организации, управления. Исходя из этого и написано это пособие. Пособие написано на основе лекций, читаемых автором в течение ряда лет на математическом факультете – специальность «Информационные системы в бизнесе» и Международного института финансов, управления и бизнеса – специальности «Мировая экономика», «Финансы и кредит» и другие.

При написании работы ставились следующие цели:

1. дать читателю (студенту) пособие, которое позволило бы ему понять основные положения математики, и так же набор «ремесленных» приемов и методов, которые позволило бы самому решать задачи.

2. заинтересовать читателя (студента) возможностью применить, что-то в экономических и управленческих исследованиях.

3. поощрить читателя (студента) к дальнейшему углублению математических знаний.

Чтобы облегчить читателю ознакомление с основами математики, включающей дифференциальное и интегральное исчисление, в начале пособия (предварительные сведения) рассматриваются вопросы из области элементарной математики.

Думается, что такой порядок изложения облегчит читателю (студенту) понимание и усвоение сведений из высшей математики. Другое отличие пособия от классических курсов в том, что все изучаемые математические понятия иллюстрируются приложениями из экономики, управления, финансов. Эти приложения не разрозненны - фактически эти приложения охватывают важнейшие понятия, разделы «математической экономики», «финансовой математики».

Еще одна особенность настоящего пособия в том, что автор счел полезным к каждой главе или лекции дать историческую справку, где кратко сообщается история изучаемых понятий, обсуждается их значимость в науке. Это кажется важным и своевременным, поскольку дает читателю (студенту) представление о математике, как области культуры человечества, знакомит с именами и историческими событиями, которые сопутствовали математическим понятиям (передать ту романтику, а порой и драматизм, которые сопутствуют математическим поискам и открытиям).

Пособие предназначено для студентов для тех лиц, которые хотят пополнить математическое образование и научиться применять его на практике.

Учитывая, что это пособие должно стать рабочим инструментом в руках управленца (экономиста), во многих случаях опущены строгие доказательства и сделана попытка или доказать формулируемые теоремы наглядно (геометрически), или же пояснить их с помощью примеров. Предусмотрены необходимые контрольные мероприятия (что особенно важно для заочного и вечернего обучения).

Определители квадратных матриц.

Необходимость введения определителя - числа, характеризующего квадратную матрицу - тесно связано с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы обозначается  или detA (иногда).

Определителем матрицы первого порядка или определителем первого порядка, называется элемент a₁₁. Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка, называется число , которое вычисляется по формуле:

Например, пусть дана матрица:

,

тогда

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

Определителем матрицы третьего порядка или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: det А = а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ + а₂₁ а₃₂ а₁₃ - а₃₁ а₂₂ а₁₃ –

- а₁₂ а₂₁ а₃₃ - а₃₂ а₂₃ а₁₁.

Определители 3^-го порядка обычно вычисляются с использованием следующего правила Саррюса (правило треугольников)

+ --

или с помощью таблицы Саррюса, полученную из элементов определителя, если приписать к ним первый и второй столбцы определителя

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₂

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₂

-- -- -- + + +.

Надо взять всевозможные произведения элементов, зачёркнутых прямыми линиями; при этом три произведения, соответствующие прямым, параллельным главной диагонали (элементы образует главную диагональ), надо взять со знаком плюс, а остальные три произведения, соответствующие прямым, параллельным побочной диагонали (элементы образуют побочную диагональ), надо взять со знаком минус.

Пример. Вычислить определитель третьего порядка:

Решение:

Используя метод треугольников, запишем:

Свойства определителей.

1. При замене строк определителя на столбцы с теми же номерами величина его не изменяется (равноправность строк и столбцов).

2. При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет свой знак.

3. Умножение всех элементов какого-либо столбца (строки) на одно и то же число  равносильно умножению на  определителя. Иными словами, общий множитель всех элементов данного столбца (строки) можно вынести за знак определителя.

4. Если некоторый столбец (строка) определителя целиком состоит из нулей, то определитель равен нулю.

5. Если элементы какого-либо столбца (строки) определителя пропорциональны (в частности равны) соответствующим элементам другого столбца (строки), то определитель равен нулю.

6. Если каждый элемент к-го (к = 1,2,3) столбца (строки) определителя представляет сумму двух определителей, в одном из которых в том же столбце (строке) стоят первые слагаемые, а в другом вторые. Остальные столбцы (строки) у обоих определителей одинаковые.

7. Определитель не изменяется, если к элементам какого-либо столбца (строки) прибавить соответственные элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель.

8. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (строки) на их алгебраические дополнения, например

9. Сумма произведений элементов какого-либо столбца (строки) определителя на алгебраическое дополнение соответственных элементов другого столбца (строки) равна нулю. Например, если элементы взять из первой строки, а алгебраическое дополнение из второй, то

Указанные свойства во многих случаях значительно облегчают вычисление определителей третьего порядка. Особое значение имеют при этом свойства 3,7 и 8. В частности свойство 8 сводит эту задачу к вычислению трёх определителей второго порядка. Более того, если в какой-либо строке два элемента равны нулю (например, а₁₁ = а₁₂ = 0), то вычисление определителя  сведётся к вычислению только одного определителя второго порядка. Этим замечанием часто пользуются при вычислении определителей, предварительно с помощью свойства 7, преобразуя его так, чтобы в некотором столбце (строке) содержалось два нуля.

Следующие два свойства определителя связаны с понятием минора и алгебраического дополнения. Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного вычёркиванием той строки и того столбца, в котором этот элемент расположен. Например, минором элемента определителя

является определитель

Алгебраическим дополнением данного элемента определителя называется его минор, умноженный на (-1)^S, где S сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраические дополнения элементов первой строки обозначаются второй строки, третьей строки. Например, элемент расположен на пересечении первой строки и первого столбца, поэтому

Аналогично,

Так же выписываются и остальные алгебраические дополнения. При этом полезно иметь в виду схему, где знаками плюс или минус помечены места тех элементов, для которых алгебраические дополнения равны минорам или отличаются от них знаком:

.

Примеры решения задач

1. С помощью разложения по элементам первого столбца вычислить определитель:

Решение: элементы первого столбца:

Их алгебраические дополнения равны:

Согласно свойству 8 имеем:

2. Вычислить определитель:

Решение. Замечаем, что первый столбец имеет общий множитель 2, а первая строка множитель 3. Поэтому, применяя дважды свойство 3, получим:

В первой строке один элемент равен нулю. Чтобы сделать в ней два нуля, достаточно из элементов первого столбца вычесть соответственные элементы второго столбца. Согласно свойству 7 определитель от этого не изменится, поэтому:

Так как теперь в первой строке отличен от нуля только элемент а₁₂, его алгебраическое дополнение:

то по свойству 8 

Вычислить определитель Вандермонда:

.

Выяснить, при каких значениях x, y, z этот определитель равен нулю.

Решение: Применяя свойство 7, вычитаем первый столбец из второго и третьего

К полученному определителю удобно применить разложение по первой строке:

Отсюда видно, что определитель Вандермонда может обращаться в нуль только при равенстве двух каких-либо чисел из x, y, z. В этом случае он будет иметь два одинаковых столбца.