Подстановки. Группы

Математики - вроде французов, когда гово­ришь с ними, они переводят твои слова на свой язык и сразу получается что-то совсем другое. В. Гете

В самом начале ХУ11 века немецкий математик П. Роте (Rote Peter, 1580 -1611) сформулировал утверждение, которое на протяжении почти двух веков занимало умы, пожалуй, всех выдающихся математиков, получив название «ос­новной теоремы алгебры»: любое алгебраическое уравнение степени и с дейст­вительными коэффициентами имеет ровно п корней (среди них могут быть и совпадающие и комплексные). Честь закрытия этой проблемы принадлежит Га­уссу.

Интересно, что попытки решить эту задачу и смежные с ней вопросы привели к рождению нового и очень мощного направления в математике - тео­рии групп, которая нашла совершенно непредсказуемые при ее рождении при­ложения не только во многих разделах математики, но и физики, механики, кристаллографии, химии, даже в живописи и архитектуре.

Среди великих, интересовавшихся «основной теоремой алгебры», был французский математик Ж. П. Лагранж. Математикам того времени казалось, что получение формул для вычисления корней алгебраического уравнения про­извольной степени, подобных тем, которые были известны еще арабскому ма­тематику средневековья аль Бируни (Абу Рейхан Мухаммед ибн Ахмед, 973 -»1048) (для квадратных уравнений) и были открыты для уравнений третьей сте­пени, как считают, итальянцем Дж. Кардано (Cardano Girolamo, 1501 - 1576) -один из возможных путей решения проблемы. Причем они пытались получить формулы, выражающие корни уравнения

a₀xⁿ +a₁x^n-1 + a₂x^n-2 +...+ a_n-1x + a_n = 0, (a_i  R, n  N)

через его коэффициенты посредством арифметических действий (сложение, вы­читание, умножение, деление) и извлечения корней - эта задача получила назва­ние «разрешимости в радикалах» алгебраического уравнения.

Ситуация представлялась вполне разрешимой, тем более, что были най­дены и формулы для уравнений четвертой степени общего вида. Однако, анало­гичные формулы для корней уравнений пятой степени получить никак не уда­валось.

Наконец, в 1770 году Лагранж опубликовал свой трактат «Reflexions sur la resolution algebrique des equations» («Размышления об алгебраическом реше­нии уравнений»), в нем он изложил свои соображения, почему те методы, кото­рые позволили решать уравнения степени не выше четвертой, нерезультативны для более высоких степеней: разрешимость в радикалах неожиданным образом оказалась связанной со структурой подстановок из соответствующего степени числа букв - символов (двух, трех и т. д.). Причем некоторые свойства S_n при n<4 и n>4 существенно различны. Так впервые подстановки привлекли внима­ние математиков. Дальнейшее развитие идеи зависимости задачи разрешимости в радикалах алгебраического уравнения и свойств подстановок привели Лагранжа и другого известного французского математика А. Вандермонда (Vandermonde Alexander Theophill, 1735 - 1796) к необходимости исследовать рациональные функции от корней алгебраических уравнений и их изменения при перестановках этих корней.

Позднее итальянский математик П. Руффини (Ruffini Paolo, 1765 -1822), доказывая неразрешимость в радикалах уравнений пятой степени общего вида, использовал замкнутость множества подстановок из пяти элементов относи­тельно умножения (композиции) и описал все подгруппы S₅. В 1824 году моло­дой норвежец Н. Абель (Abel Niels Henric, 1806 - 1829), основываясь на глубо­ких связях корней алгебраических уравнений и симметрических групп, доказал неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений общего вида степени выше четвертой, а юный француз Э. Галуа (Galois Evarist, 1811 - 1832) устано­вил критерий их разрешимости.

Его работы не просто опирались на свойства симметрической группы (собственно термин «группа» (le group) ввел в математику Галуа, хотя строгого ее определения он не дал),- результаты, которые 21 -летний математик изложил в письме к своему другу накануне его трагически закончившейся дуэли, содер­жали основы теории групп. В сжатых заметках Галуа оказались гармонично связанными строгой логикой новой теории и исторические задачи вроде удвое­ния куба и трисекции угла и разрешимость в радикалах алгебраических уравне­ний третьей и, вообще, любой степени. Но потребовалось почти 14 лет, чтобы его работы были обнаружены Ж. Лиувиллем, поняты им и напечатаны. А значе­ние его работ во всей полноте было осознано математиками еще позже: благо­даря изложению его методов и исследованиям его результатов другим француз­ским математиком К. Жорданом (Jordan Marie Camile, 1838 - 1922), опублико­вавшим их в 1870 году в «Traite des substitutions et de equation algebriques» («Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях»), и появившимся к то­му времени в той же области математики, которая теперь называется теорией групп, работам члена Парижской Академии Наук 0. Коши (Cauchy Augustin Louis, 1789 - 1857). Он установил и доказал много интересных теорем о свойст­вах симметрической группы S_n. Сейчас идеи Галуа признаны одними из самых выдающихся достижений математики XIX века, он опередил свое время почти на полстолетия. Позднее применение групповых методов в геометрии немец­ким математиком А. Мебиусом (Mobius August Ferdinand, 1790 - 1868) и англи­чанином А. Кэли привели другого выдающегося немецкого математика Ф. Клейна (Klein Christian Felix, 1849 - 1925) к идее классификации геометрий на групповой основе: каждая из геометрий определяется некоторой группой пре­образований и ее инвариантами. «Эрлангенская программа», сформулированная им на математическом конгрессе в 1872 году, определяет направления геомет­рических исследований до настоящего времени.

Покажем один простой, но изящный пример приложения теории групп (точнее - теории подстановок) в геометрии. Так известно, какими движениями (перемещениями) правильный треугольник отображается в себя: осевыми симметриями относительно биссектрис его внутренних углов и поворотами вокруг его центра на 0, 2/3 и 4/3. Несложно проверить, что эти шесть самосовмеще­ний образуют конечную группу. Однако, они могут быть заданы иначе: если за­нумеровать вершины треугольника цифрами 1, 2, 3, то повороту на угол 2/3 соответствует подстановка вершин , на 4/3 – на 0 - тождественная, аналогично подстановки,и

соответствуют осевым симметриям. Таким образом, можно сказать, что группой самосовмещений правильного треугольника является симметрическая группа третьего порядка S₃, или что правильный треугольник представляет собой инва­риант (не меняющийся объект, от английского - invariant - неизменный) группы S₃.