Бинарные отношения на множестве

Вселенная, насколько она нам известна, уст­роена так, что истинное в каком-либо одном случае истинно и во всех случаях некоторого описания, трудность состоит лишь в том, что­бы найти такое описание.

Джон С. Миль. «Система логики»

Понятие бинарного отношения (или соотношения, соответствия) сформи­ровалось в математике к концу XIX - началу XX веков, когда длительная дис­куссия по поводу определения числовой функции, данного Дирихле, привела к попыткам его уточнения и обобщениям разного рода. В результате этого, как мы уже знаем, получили право на существование понятие отображения или функции с произвольными (не обязательно числовыми), областями определений и значений. Несколько большей абстракции потребовало понятие бинарного и, вообще, n - арного отношения, которые можно представить себе, как следую­щий этап обобщения понятия функции (отображения) при отказе от требования единственности кортежа с данным первым элементом.

Но суть этого шага в математике - не в беспредметном обобщательстве. Удивительным оказалось то, что специальные виды различных бинарных отно­шений, обладающих довольно простыми свойствами (например: рефлексив­ность, симметричность и транзитивность) помогли увидеть общность фактов различных математических теорий. Это мы могли заметить уже на примерах простейших множеств (свободные векторы, равномощные множества), геомет­рических фигур (равновеликие, равносоставленные), теории чисел (вычеты) и т.д. Понятно, что этими примерами отношения эквивалентности далеко не ис­черпываются.

Более того, почти в каждой новой структуре наряду с понятием изомор­физма (от греческого: , - равный,  - вид) эквивалентность будет иг­рать важнейшую роль, проверяя насколько содержательна и богата та или иная математическая структура.

Собственно порядок и эквивалентность - столь естественные понятия, что, кажется, ими могли бы владеть еще математики эллинистического периода, од­нако, термин эквивалентность был введен только к концу ХУ111 века, а в со­временном смысле им, видимо, впервые начал пользоваться Лагранж в работах по теории квадратичных форм и Гаусс в трактате «Teoria metus» («Теория дви­жения небесных тел») в самом начале XIX века.

Что касается отношения порядка, то его аксиоматику еще около 1690 г. рассматривал Лейбниц. Спустя почти столетие внимание Г. Кантора привлекли линейно упорядоченные множества, и им в 1883 г. была доказана упоминавшая­ся теорема о том, что любое непустое множество может быть вполне упорядо­чено. Термин «частичный порядок» ввел в 1914г. известный немецкий матема­тик Ф. Хаусдорф (Hausdorff Felix, 1868 - 1942 в своем труде «Grunruge der mengenlerhe» («Основы теории множеств»), а позднее в работах по функцио­нальному анализу американский и английский математики Э. Мур (Moore Eliakim Hastings, 1862 - 1932) и Г. Смит (Smith Henry, 1826 - 1883) изучая во­просы сходимости, ввели так называемые направленные множества, которые могут не иметь наименьшего или наибольшего элемента, но обладать нижней или верхней гранью. Историки математики отмечают в этой области работы и русского математика С. 0. Шатуновского (1859 - 1929), занимавшегося в начале нашего века вопросами обоснования математики и разрешимости алгебраиче­ских уравнений в радикалах.

Определение математики, как науки, дать весьма сложно и, наверняка, любое такое определение будет неполно. Крупнейший русский математик на­шего времени А. Н. Колмогоров, (1903 - 1987) писал, что математика «имеет дело с некоторыми - множествами объектов, связанных между собой опреде­ленными отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагиваю­щих конкретной природы объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющими положенной в ее основу системе аксиом».

Из его рассуждений вытекает, что математическая теория, применимая к какой-либо системе объектов, применима и к любой аналогичной, т. е. «изо­морфной» ей системе. И именно понятие и характеристики отношений эквива­лентности мы будем использовать, отвечая на вопросы: как много существует систем объектов, к которым применима та или иная теория (в математике в та­ких случаях говорят от моделях теории),- т. е. сколько классов эквивалентности по отношению изоморфизма на множестве всех моделей данной математиче­ской структуры, и какова его полная система представителей. А из этого естест­венно вытекает задача отыскания эталонных в каком-либо смысле моделей тех или иных структур.

Все это в конечном счете позволяет выработать категорийный подход к математике и математическим теориям, понимание того, что ее законы носят глубокий характер, умение видеть в частных примерах общие закономерности и свойства математических структур.