Операции на бинарных отношениях. Отображения

Я тут недавно разработал очень любопыт­ный удар лапой эн в направлении икс.

Е. Шварц. «Дракон».

Понятия бинарного отношения, его инверсии и композиции бинарных от­ношений по существу являются обобщениями аналогичных операций с отобра­жениями, а отображение в свою очередь обобщает понятие числовой функции -при отображении существен не только характер элементов множеств, но закон, правило, по которому каждому из них сопоставляется какой-либо элемент того же самого или другого множества. Как и почти все основные понятия матема­тики, понятие отображения претерпело довольно длительную эволюцию и толь­ко к концу XIX века приобрело современное содержание.

Можно с уверенностью утверждать, что математики древнего мира, вклю­чая и его эллинистический период, не осознавали функциональной зависимости в тех закономерностях, которые они открывали, хотя еще в Древнем Египте бы­ли известны точные формулы для вычислений площадей и объемов основных геометрических фигур (треугольников, параллелограммов, трапеций и, соответ­ственно, пирамид, призм и т. д.), а идею зависимости от значений слагаемых можно заметить даже при вычислениях простейших числовых сумм. Круг инте­ресов математиков того времени был ограничен исключительно статичными за­дачами: числовыми величинами, пространственными формами и их численны­ми характеристиками.

Однако необходимо было ввести в математику некоторые новые, можно сказать, кинематические идеи, чтобы осознать подобные количественные зави­симости между величинами, и сделать их предметом изучения. Это и происхо­дит в начале XVII века, когда изменения в самом характере знания - эволюция от созерцательного к естественно-испытательному привели к появлению в нау­ке таких исследователей, как Р. Декарт (Decartes Rene, 1596 - 1656), П. Ферма (Fermat Pierre, 1601 - 1665), И. Ньютон (Newton Isaac, 1643 - 1723), Г. Лейбниц, Я. Бернулли (Bemulli Jacob, 1654 - 1705), Д. Бернулли (Bernulli Daniel, 1700 -1782), Л. Эйлер (Euler Leonard, 1707 -1783), Ж. Б. Фурье (Fourier Jean Baptist Josepf, 1768 - 1830) и П. Г. Дирихле (Dirichlet Peter Gustav Lejene, 1805 - 1859). Их работы в различных областях оптики, механики и физики не только принес­ли им заслуженную славу, но и определили направления развития этих наук на долгие годы.

В исследовании французского математика П. Ферма «Введение в изучение плоских и телесных мест» встречается: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, нааицо имеется место». Под «местом» Ферма понимал линию, и таким образом, в этой работе шла речь по существу о графическом задании функциональной зависимости. Изучением ли­ний по их уравнениям занимался и другой знаменитый французский математик Р. Декарт, в его «Геометрии», изданной в 1637 г., уже достаточно ясно указыва­лось на взаимную зависимость переменных величин геометрического истолко­вания, заданных аналитически. (Декарт заложил основы аналитической геомет­рии, введя систему координат и изучение линий по их уравнениям, ему же при­надлежат многие из современных обозначений: а, Ь, с - для коэффициентов уравнений, х, у - для переменных, х², х³ для степеней). По работам в области дифференциального и интегрального исчисления другого математика XVII в.- англичанина И. Барроу (Barrow Isaac, 1630 - 1677) можно заметить, что тот уже вполне осознавал функциональную зависимость между двумя переменными. Однако, как и великий И. Ньютон, он представлял подобные зависимости, преж­де всего геометрически или, скорее, в некоторой механистической интерпрета­ции, т. е. экспериментально и интуитивно.

Собственно термин «функция» (от позднелатинского - functio - исполне­ние, осуществление) был введен Г. Лейбницем в работах по дифференциально­му исчислению, хотя под функцией он понимал нечто отличное от общеприня­того в настоящее время значения этого термина - различные отрезки, связанные с кривой, в частности, абсциссы и ординаты ее точек. Видимо, то понятие функции, от которого произошло ее современное определение, было введено к концу XVIII века французскими математиками Н. Кондорсе (Condorset Marie Jean Atoin Nicolas de Caritat, 1743 - 1794) и С. Лакруа (Lacroix Silvestr Francois, 1765 - 1843) независимо друг от друга. Историки математики до сих пор не имеют единого мнения, кому из них принадлежит это первенство. Интересно, что оба они, вообще говоря, полагали необязательным задание функции анали­тически (формулой). Однако, большинство даже крупных математиков XVIII века не придавали этому значения и не осознавали различия между функцией и ее аналитическим заданием. Это послужило основанием для критики Л. Эйле­ром решения знаменитой задачи о колебании струны, которое предложил Д. Бернулли в 1753 году.

Эйлер считал, что функция - это произвольно начертанная кривая, а по­следователи Д' Аламбера (D' Alembert Jean Le Round, 1717 - 1783), к которым относился и Д. Бернулли,- что суть функциональной зависимости в ее аналити­ческом выражении. Получив решение некоторого дифференциального уравне­ния в виде тригонометрического ряда, он предположил, что и любая функция (непрерывная) должна быть разложима в подобный ряд. Гипотеза о представле­нии любой непрерывной функции аналитическим выражением, развитая в рабо­тах французских математиков С. Лакруа и Ж. П. Фурье, была подтверждена в 1885 году выдающимся немецким математиком К. Вейерштрассом (Weierstrap Karl Theodor Wilhelm, 1815 -1897). Более того, в 1940 г. русский математик Д. Е. Меньшов (1892 - 1983) доказал, что для действительных функций действи­тельного аргумента в разумном, но достаточно широком смысле (для измери­мых и почти всюду конечных функций), такие два подхода к функции, как к геометрическому соответствию и как к аналитическому выражению эквива­лентны.

Дискуссия по сущности понятия функции привела к тому, что к началу XIX века более употребляемым стало ее определение без требования аналити­ческого задания, что позволило П. Дирихле в 1837 году сформулировать его знаменитое определение числовой функции, принимаемое до сих пор: «у есть функция переменного х, определенная на отрезке (b х  a), если всякому зна­чению переменного y, содержащемуся в этом отрезке, соответствует вполне оп­ределенная величина переменного у, причем совершенно неважно, каким имен­но способом установлено это соответствие». А крупнейший русский математик Н. И. Лобачевский (1792 - 1856), знакомый с трудами Лакруа, еще в 1834 году пользовался понятием функции, весьма близким к определению Дирихле, став­шим столь широко известным позднее.

Долгое время понятие функции Дирихле считалось столь совершенным и точным, что недопустима была и мысль о возможности ее критики. И только после довольно длительного изучения функций с различными специальными свойствами стала насущной необходимость большей ясности пункта определения функции: «… причем совершенно неважно, каким именно способом установлено данное соответствие». Сначала шведский математик Т. Броден (Broden Torsten, 1857-?) указал в 1897 году пример функции на отрезке, составленной из разнородных и независимых между собой кривых, каждая из которых определена на одном из отрезков его бесконечного разбиения на отрезки меньшей длины. Такое бесконечное множество кривых, по его мнению, не только невозможно задать аналитически, но в силу своей природы не может быть изучено.

В процессе развернувшейся дискуссии, в которой основное участие приняли ма­тематики французской школы, Р. Бэром (Bair Rene Louis, 1874 - 1932) была ука­зана необходимость, по его мнению, описания закона соответствия всякому х числа у(х). Ж. Адамар (Hadamard Jacques Salomon, 1865 - 1963), полемизируя с Ф. Борелем (Borel Felix Edouard, 1871 - 1956), утверждал, что подобное ограни­чение, во-первых, сильно напоминает требование аналитичности задаваемой функции, что необязательно, во-вторых, по существу сужает область примене­ния теории функции, например, в теории газов, где она уже показала свою эф­фективность. Работы Бэра, Лебега и Адамара по теории функций оказались очень плодотворными, но вместе с тем чрезвычайно запутали вопрос с самим понятием функции, в котором математическая «зависимость» или «независи­мость» переменных в конечном счете оказалась связанной с обсуждением одно­го из положений теории множеств, известного в математике под названием принципа произвольного выбора или аксиомы Цермелло (немецкий математик, Zeremello Ernst, 1871 - 1953), который сформулировал ее в 1904 году: Пусть да­но множество М состоящее из попарно непересекающихся множеств М_ , тогда существует множество М, каждый элемент m_ которого принадлежит неко­торому М_ причем М  М_ = m_ .

Основные противоречия в понятии функции находятся в довольно специа­лизированных разделах математики и ее приложений. Бэр писал: «Для нашего ума все приводится к конечному». Но в тех ее областях, где вполне непротиво­речиво определение Дирихле, теория функций оказалась необычайно интерес­ной и плодотворной, разрешив к тому же множество задач прикладной матема­тики, физики, механики и т. д., породив целые разделы этих наук (дифференци­альное и интегральное исчисление, дифференциальную геометрию, теорию функций комплексного переменного, теорию функциональных рядов, рядов Фурье и многие другие). А начиная с немецкого ученого В. Дедекинда (Dedecind Julius Wilhelm Richard, 1831 - 1916), наряду с дискуссией вокруг са­мого понятия функции в работах различных математиков конца XIX - начала XX веков, происходит постепенное обобщение его на нечисловые множества (собственно указания на возможность таких обобщений отмечены еще в рабо­тах С. Лакруа и В. Кондорсе), а с середины XX века закрепляется традиционная ныне терминология в этой области.