Упражнения

Задачи для самостоятельного решения

1. (Модель Леонтьева) даны: вектор непроизводственного потребления и матрица

межотраслевого баланса. Найдите вектор валового выпуска, обеспечивающий данный вектор потребления.

2. (Модель Неймана). Даны матрицы

технологических процессов, вектор цен Р =(1,5) и вектор – столбец:

.

Найдите интенсивности z₁ и z₂ технологических процессов, максимизирующие стоимость выпуска продукции за один производственный цикл, и эту саму максимальную стоимость.

3. Пусть модель Леонтьева задается матрицей

.

Выяснить, продуктивна ли она.

Пусть есть валовой выпуск. Каков вектор непроизводственного потребления?

4. Даны матрицы

технологических процессов и вектор цен P = (3,5) в модели Неймана. Найдите, сколько потребуется запасов и сколько будет произведено продукции при интенсивности z₁ = 2, z₂ = 3 технологических процессов.

Пространство арифметических векторов

Ранг матрицы.

1. Арифметические векторы.

Определение. Всякая упорядоченная совокупность из n действительных чисел называется действительным арифметическим вектором и обозначается символом .

Числа x₁, x₂,...,x_n называются компонентами (координатами) арифметического вектора .

Над арифметическими векторами вводятся следующие операции.

СЛОЖЕНИЕ: если, и,

то

. (1)

УМНОЖЕНИЕ на число: если  - действительное число, = (x₁, x₂,...,x_n) - арифметический вектор,

то

= (x₁, x₂,...,x_n) (2)

Множество всех действительных арифметических п-компонентных векторов с введенными выше операциями сложения (1) и умножения на число (2) называется пространством действительных арифметических векторов и обозначается символом Rⁿ.

Определение. Система арифметических векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа₁,...,_n, не равные нулю, такие, что. В противном случае эта система называется линейно независимой.

Пусть Q - произвольное множество арифметических векторов. Система векторов называется базисом (иногда базой) вQ, если выполнены следующие условия:

а) e_kQ, k = 1,2,...,s

б) система - линейно независима;

в) для любого вектора xQ найдутся числа ₁,...,_s такие, что

. (3)

Формула (3) называется разложением вектораx по базису В. Коэффициенты ₁,...,_s однозначно определяются вектором x и называются координатами этого вектора в базе В.

Справедливы следующие утверждения:

1. Всякая система векторов QRⁿ имеет, по меньшей мере, один базис; при этом оказывается, что все базисы этой системы состоят из одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q и обозначаемого rangQ или r(Q).

2. Ранг всего пространства Rⁿ равен n и называется размерностью этого пространства (обозначается Rⁿ); при этом в качестве базиса Rⁿ можно взять следующую систему.

e₁=(1,0,0,...,0)

e₂=(0,1,0,...,0) (4)

. . . . . . . . . . .

e_n=(0,0,0,...,1)

Этот базис принято называть каноническим.

Зафиксируем произвольный базисB = (e₁,...,e_n) в пространстве Rⁿ. Тогда всякому вектору x можно поставить во взаимно однозначное соответствие столбец его координат в этом базисе, т.е.

.

Замечание (предостережение!) Необходимо различать компоненты вектора и его координаты в некотором базисе. Мы используем для них одинаковое обозначение, хотя следует помнить, что координаты вектора совпадают с его компонентами только в каноническом базисе.

Линейные операции (1) и (2) над арифметическими векторами в координатной форме выглядят следующим образом:

2. Ранг матрицы.

Пусть в матрице А размера mn выбраны произвольно К строк и К столбцов (k  min (m,n)).

Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка К, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А.

Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы А называется ее рангом, а любой минор порядка r, отличный от нуля, - базисным минором.

Строки (столбцы) матрицы А размера mn можно рассматривать как систему арифметических векторов из Rⁿ (соответственно R^m).

Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен рангу системы ее строк (столбцов); при этом система строк (столбцов) матрицы, содержащая базисный минор, образует базис в системе всех строк (столбцов) этой матрицы.

Приведем основные методы вычисления ранга матрицы:

а) Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор М - k-го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры (k+1) порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М:

если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае, среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)–го порядка, и вся процедура повторяется.

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение: Фиксируем минор 2^-го порядка, отличный от нуля

Минор 3-го порядка

,

окаймляющий минор M₂ также отличен от нуля. Однако оба минора 4-го порядка, окаймляющие M₃, равны нулю:

(Проверте!)

Поэтому ранг матрицы А равен трем, а базисным минором является, например, M₃.

б) Метод элементарных преобразований основан на том факте, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме a₁₁, a₂₂,...,a_rr(rmin (m,n)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен r

Пример 2. Найти ранг матрицы

.

Решение: Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь

Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же и ранг исходной матрицы.

Пример 3. Найти ранг матрицы

.

Решение: Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

(Из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5)

из третьей строки вычтем вторую строку

.

Последнюю матрицу легко привести к каноническому виду. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из следующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменятся. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из следующих столбцов, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу

.

Ранг этой матрицы равен 2, следовательно, таков же ранг исходной матрицы.

Свойства.

1. Если обозначим ранг матрицы A через rangA, то для ранга произведения AB двух квадратных матриц А и В порядка n, имеет место Неравенство Сильвестра: rangA + rangB – n  rangAB  min{rangA,rangB}.

2. Если сумма матриц А + В определена, то rang(A+B)  rangA + rangB.

3. Любую матрицу ранга r можно представить в виде суммы r матриц ранга 1, но нельзя представить в виде суммы менее чем r таких матриц.

ЗАМЕЧАНИЕ. Неравенство Сильвестра остаётся верным и для произведения прямоугольных матриц при условии, что n обозначает число столбцов матрицы А и число строк матрицы В.

Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной зависимости системы арифметических векторов.

Пример 4. Выяснить, является ли система арифметических векторов ,,линейно зависимой. Найти её ранг и какой-нибудь базис.

Решение: Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются,

.

Ранг А равен 2(почему?). Следовательно, исходная система

арифметических векторов линейно зависима, и её ранг равен 2

(по теореме о базисном миноре). Минор 2-го порядка

отличен от нуля и поэтому может быть принят за базисный. Отсюда следует, что арифметические векторы a₁ и a₂ образуют базис исходной системы.

УПРАЖНЕНИЯ.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

1. 2.3..

Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований

4. 5.

6. .

7. Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:

a) = (1,1,1,1),= (1,-1,1,1),= (1,-1,1,-1),= (1,1,-1,-1).

б)= (4,-5,2,6),= (2,-2,1,3),= (6,-3,3,9),= (4,-1,5,6).

8. Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы

a) = (5,2,-3,1),= (4,1,-2,3),= 1,1,-1,-2), = ( 3,4,-1,2).

б) = (2,-1,3,5),= (4,-3,1,3),= 3,-2,3,4),= (4,-1,15,17),= (7,-6,-7,0).

9. Найти ранг и все базисы системы

а) = (1,2,0,0),= (1,2,3,4), = (3,6,0,0).

б) = (1,2,3,4),= (2,3,4,5), = (3,4,5,6), = (4,5,6,7).