Философия математики б.Рассела. Парадокс Рассела. Теория типов.

Обоснование математики по Расселу начинается с самой логики, которую он трактует как систему тавтологий, истинных без намёка на опыт (или, по Лейбницу, верных вообще во всех «возможных мирах»).²⁵

Рассел считал, что только философ-аналитик может и должен отыскать логический способ избавления математики от сомнительных вещей, на которых основывается обычно метафизика.

Для начала поговорим вообще о знании как таковом. Так Бертран Рассел различал два типа знания — «знания-знакомства» и «знания по описанию». «Знание-знакомство» есть изначальное и непосредственное знание о чувственных данных и универсалиях. Те элементы языка, которые подтверждаются «знанием-знакомством», Рассел называл «именами».

«Знание по описанию» является вторичным: оно означает выводное знание о физических объектах и психических состояниях других людей с помощью «обозначающих фраз», именно ими, по его мнению, порождаются главные логические проблемы и недоразумения.²⁶

Рассел разработал механизм анализа и исключения двусмысленности обозначающих фраз. Впоследствии, Рассел пришел к выводу, что язык связан с миром только с помощью указательных местоимений, которые суть «логически собственные имена».

Занимаясь теорией множеств, Рассел обнаружил парадокс, который впоследствии получил его имя. Именно его он увидел в работе Фреге «Основания арифметики». Этот парадокс касался особого «класса всех классов, не являющихся членами самих себя».

Тут возникал вопрос: является ли класс частью себя же? Именно ответ на данный вопрос приводил к противоречию. К этому парадоксу было привлечено широкое внимание, так как в начале XX века теория множеств Кантора считалась образцовым математическим основанием, способным быть непротиворечивым и полностью формализованным.

Позитивное решение, предложенное Расселом, получило название «теории типов». Парадокс Рассела строится на понятии множества всех множеств, которое содержит в себе (в качестве подмножеств) все без исключения множества и, в то же время, само является множеством.²⁷

А это значит, что оно содержит само себя в качестве подмножества. Именно этот факт и обыгрывается в парадоксе Рассела. Если принять за условие то, что правильные множества не содержат в себе самих себя, а неправильные – наоборот, содержат, то можно выявить другое противоречие. Каким же можно назвать множество Рассела, правильным или нет, при этом учитывая, что в самом множестве все множества правильные (так как не содержат себя)? Здесь получается парадокс: если множество Рассела является правильным множеством, то должно содержать себя в качестве подмножества (поскольку содержит все правильные множества), что противоречит определению правильного множества (как множества, не содержащего себя в качестве подмножества). Но если множество Рассела является неправильным множеством (то есть содержит себя в качестве подмножества), то оно содержит, как минимум, одно неправильное множество, что противоречит его собственному определению (как множества, содержащего только правильные множества).

Простая теория типов устраняет парадокс Рассела, но не устраняет многие другие парадоксы (прежде всего, парадокс лжеца), как того добивался Рассел. По этой причине сегодня ее рассматривают как один из вариантов устранения данного парадокса.

Проблема в том, что подобная логическая грамматика не является пока что общепринятой. Настоящее решение этого парадокса будет найдено только тогда, когда будут поняты причины его возникновения. Так, например, введенный Расселом принцип порочного круга оказался недостаточным для объяснения этих причин.²⁸Согласно этому принципу, совокупность объектов не может содержать членов, определяемых посредством этой же совокупности. Такое определение называется самоприменимым или циркулярным. Оно имеет место в таких парадоксальных высказываниях, как «Я лгу», «Множество, содержащее самого себя в качестве подмножества» и так далее. Проблема в том, что циркулярными являются и многие другие, непротиворечивые определения. Это означает, что кроме циркулярности необходим какой-то дополнительный критерий, отделяющий циркулярность, ведущую к парадоксу, от всех других ее случаев²⁹.

Таким образом, главным новшеством системы Рассела — Уайтхеда явилось построение логики в виде «ступенчатого исчисления» или «теории типов». Однако для построения классической математики средствами математики Рассела к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы, не являющиеся «аналитическими истинами», или, по Лейбницу, истинами, верными «во всех возможных мирах». Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гёдель такие системы могут обосновать только некоторую часть математики, но не её саму, а это означает, что они неполны — их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения. ³⁰