Логицизм. Предшественник – идея Лейбница (сведение математики к логике)

Первый после Аристотеля начал разрабатывать идеи содержания и формального аппарата логики, её роли в человеческом знании.

В творческом наследии Лейбница логика занимает особое место. Логика для него составляет главный нерв интеллектуального поиска, являясь не только формой готового знания, но и главным инструментом разработки проблем теологии, естествознания, юриспруденции, познания вообще. Лейбниц следовал рационалистической традиции Декарта, но уже на другом уровне, он разрабатывал многие принципы рационалистической философии. Он стремился конкретно назвать все интуиции, о которых довольно пространно рассуждал Декарт. Его принцип необходимости — это то, что отделяет логику и математику от других наук.¹⁸И это роднит Лейбница с логицистами, так как ни в чем другом, кроме логики не найти обоснования для математики, которого в самой математике нет. Также Лейбниц один из первых, после Аристотеля, разрабатывал идею построения универсального языка для всей математики, в качестве инструмента для неё, с помощью которого строились бы все её доказательства.¹⁹

Он предвидел, что скоро существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не будет отвечать требованиям развития науки. Однако осознание этого в научном сообществе произошло только в XIX веке.

Программа логицизма.

Одной из главных задач логицизма было доказательство того, что логика включает в себя математику, что показало бы, что все суждения математики суть аналитически истинные сущности. Попытки решить эту задачу привели к созданию новой логики, которую можно считать важнейшим осуществлением программы логицизма.

Другой пункт программы логицистов является то, что все аксиомы являются изначально логическими и, следовательно, все теоремы математики имеют под собой логическую основу²⁰. Программа логицизма «чисто логического» обоснования математики оказалась невыполнимой. Так или иначе, но результаты Рассела и ученых, разрабатывающих и усовершенствовавших математику Рассела, оказали огромное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата.

Философия математики г. Фреге

В отличие от интуиционистов, которые верили, что математический объект конструируется, Фреге верил в объективность мира математических соотношений, которые подобно платоновским идеям открывались, а не изобретались.

«Логика имеет дело с реальным миром в той же степени, что и зоология, хотя с его наиболее абстрактными и общими чертами» ²¹

Следуя плану, намеченному ещё Лейбницем, Фреге изобрел символическую запись для строгих рассуждений, он в действительности впервые построил исчисление предикатов. Это такая формальная система, которая состоит из двух частей: символического языка и логики предикатов.

Кроме этого для исчисления предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и сейчас. Так как во времена Фреге значение арифметики было немного другим, тогда понимали её как теорию натуральных чисел с основаниями анализа.²²

Таким образом, становится ясно, почему первое, что Фреге подвергает логическому анализу это само понятие числа, множество, равенство, переменная и функция — исходные понятия арифметики. Он считает, что с помощью логики есть возможность избавить математику от неопределённостей, в том числе и в самом понятии числа.

В «Основаниях арифметики» (1893—1903) Фреге свел математику к логике, а натуральное число к комбинации логических понятий, стараясь показать очевидность того, что арифметика – ответвление логики, и её базис не нуждается в выведении из опыта или даже из чистого созерцания. Но главной задачей этой книги было именно обоснование нового подхода к определению числа.

Говоря о числах, он придает им значение универсальных свойств. Так как все вещи универсума подлежат счету, воображаемые или реальные. Высказывания о числах могут быть только объективными понятиями. Таким образом, слова «многое» и «множество» не могут описывать сущность числа. По мнению Фреге, есть только априорные и аналитические истины, которые познаваемы только тремя путями:

1) наблюдение (представление, какие предметы есть);

2) априорная пространственная и временная интуиция (представление, какие предметы должны быть);

3) логическая способность (знание, какие предметы есть и каковы они на самом деле) ²³.

Таким образом, действительно узнать какие вещи сами по себе можно только путём логической способности.

И была бы это прекрасная и непогрешимая система, но ещё до издания второго тома, Фреге написал Бертран  Рассел и рассказал, что он обнаружил в системе Фреге противоречие. ²⁴И так как Рассел разделял основные тезисы программы логицизма, он предпринял попытку «исправления» системы Фреге и «спасения» её от противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последовательной и детальной формализации не только математики, но и логики, что лежала в её основании. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом) трёхтомный труд «Principia Mathematica».