- •Математическая обработка результатов эксперимента.
- •1. Введение
- •2.Погрешности эксперимента, их виды. Возможности их оценки § 1. Понятие погрешности измерения
- •§ 2. Абсолютная и относительная погрешности.
- •§ 3. Промахи
- •§ 4. Систематические погрешности
- •§5. Случайные погрешности
- •§6. Неисключенные систематические погрешности
- •3. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
- •4. Распределение Стьюдента.
- •5. Практические способы расчета случайных погрешностей
- •§ 1. Обработка прямых измерений (алгоритм прямых измерений).
- •§ 2. Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок).
- •§ 3 Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных. (Формулы переноса ошибок)
- •§ 4. Два способа оценки погрешности при косвенных измерениях.
- •§ 5 Метод наименьших квадратов (мнк).
- •§6. Некоторые сведения о неравноточных измерениях.
- •6.Учет погрешности приборов.
- •7. Вычисление суммарной случайной и систематической погрешности.
- •8.Некоторые правила приближенных вычислений.
- •§ 1 Значащие цифры в приближенном числе
- •§ 2 Верные знаки в приближенном числе
- •§ 3 Правила округления
- •§ 4 Правила записи окончательного результата
- •§ 5.Предельная относительная погрешность
- •§ 6 Действия с приближенными числами.
- •9. Правила выполнения отчета по лабораторной работе
- •10. Рекомендации по построению графиков.
- •Приложения § 1. Таблица коэффициентов Стьюдента
- •§ 2. Распределение Стьюдента
- •§ 3. Вычисление среднего арифметического при измерениях высокой точности
- •§ 4. Расчет среднеквадратичного отклонения (другой вид формулы).
- •§ 5 Алгоритм вычисления среднеквадратичного отклонения при прямых измерениях высокой точности
- •§ 6 Среднеквадратичная погрешность среднего арифметического
- •§ 7 Определение коэффициентов линейной зависимости по мнк вывод.
- •Литература
§ 2. Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок).
Пусть искомая физическая величина Yявляется функцией измеряемой величиныx.
Y =f(x)
Так как величина x не может быть определена абсолютно точно, то и рассчитанное значениеY будет содержать погрешность. Значение искомой функции следует находить, как функцию среднего арифметического значения измеренной величины, то есть в формулу для ее определения подставить вычисленное среднее значение
Как определить погрешность функции, если известна погрешность аргумента?
Для этого пользуются известным соотношением между дифференциалом функции df(x)и бесконечно малым приращением аргументаdx:
Полагая xdx, аYdY , получаем выражение для погрешности функции:
|
(17) |
где x =tp,n-1 Sx , производная функцииприx=.
Иногда оказывается удобнее (проще) вычислить сначала относительную погрешность, а уже зная ее, определить доверительный интервал. Учитывая то, что: легко видеть, что относительную погрешность функции можно вычислить, воспользовавшись следующей формулой:
|
(18) |
§ 3 Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных. (Формулы переноса ошибок)
В общем случае искомая физическая величина может быть функцией не одной, а нескольких измеряемых величин, то есть: Y=f(X1,X2,…Xn)Каждая из величинX1,X2,…Xn определяется с соответствующей погрешностью X1,X2,…Xn. В этом случае средняя квадратичная погрешность функции будет равна корню квадратному из суммы квадратов частных производных функции по всем независимым переменным, домноженным на среднеквадратичную погрешность соответствующей величины:
|
(19) |
В данной формуле каждая скобка под корнем представляет собой вклад погрешности соответствующей величины в погрешность функции. Если погрешности различных измеряемых величин определены с одной и той же доверительной вероятностью, то формулу можно переписать в следующем виде:
|
(20) |
Относительная погрешность функции может быть вычислена по формуле:
|
(21) |
Приведенные формулы справедливы для любых функциональных зависимостей, однако, они довольно громоздки, производить по ним расчеты бывает достаточно сложно, они требуют больших затрат времени. В некоторых случаях бывает удобнее использовать выражения, преобразованные для частных случаев функциональной зависимости. Рассмотрим несколько таких частных случаев.
Погрешность алгебраической суммы
Пусть функция имеет вид:
Y = , тогда среднеквадратичная погрешность такой функции будет определяться:
|
(22) |
а выборочная дисперсия:
(23) |
То есть выборочная дисперсия алгебраической суммы равна сумме выборочных дисперсий отдельных независимых переменных.Обратите внимание, на то, что в выражение для выборочной дисперсии функциивсе слагаемые входятсознаком «+»,независимо от того, с каким знаком соответствующая величина входила в алгебраическую сумму.
Погрешность произведения.
Пусть функция имеет вид:
или
В этих случаях, воспользовавшись формулой (21) и, учитывая то, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, получаем выражение для относительной погрешности функции:
|
(24) |
То есть относительная погрешность произведения (и частного) равна корню квадратному из суммы квадратов относительных погрешностей всех сомножителей. Также как и в случае суммы, обратите внимание, на то, что все слагаемые под корнемберутся со знаком «+», независимо от того вчислитель или знаменательвыражения функции они входили.
Производить расчет по этой формуле обычно гораздо проще, чем по формуле (19), а доверительный интервал искомой величины легко найти: .
Погрешности некоторых элементарных функций.
, где С=const;
;
;