§5. Случайные погрешности

Случайнымипогрешностями называют непредсказуемые ни по знаку, ни по размеру погрешности, которые определяются совокупностью причин трудно поддающихся анализу, либо недостаточно изученных. Присутствие случайных погрешностей легко обнаруживается при повторных измерениях в виде разброса получаемых результатов. Случайные погрешности устранить нельзя, но их можно оценить и определитьграницы интервала, в которых заключено значение измеряемой величины.

Как уже было сказано, эти границы определить абсолютно надежно нельзя. Допустим, что получено несколько значений измеряемой величины. Тогда можно предположить, что искомое значение лежит в интервале между максимальным и минимальным из полученных значений, то есть x_min< x <x_maxи есть тот интервал, в котором лежит значение искомой величины. Нокакова вероятностьтого, что, сделав еще хотя бы одно измерение, мы не выйдем за пределы определенного таким образом интервала? Какова вероятность того, что вновь полученный результат будет «хуже» или «лучше» предыдущих?

Напрашивается мысль, что мало определить величину интервала, надо еще знать с какой вероятностью искомое значение попадает в этот интервал.

Такую возможность дает теория вероятностей. Случайные погрешности, подобно всем случайным величинам, подчиняются вероятностным законам, а значит, их можно оценить^и определитьграницыинтервала, в котором, с достаточно большойвероятностью,заключено значение измеряемой величины.

§6. Неисключенные систематические погрешности

Таким образом, если исключены промахи и внесена поправка на систематическую погрешность, то вклад в окончательную погрешность результата будут вносить случайные погрешности (x_сл) и неисключенные систематические (приборные) (x_пр).

В случае, когда приборная погрешность существенно больше случайной (x_пр>>x_сл), принято за окончательную погрешность измерения принимать приборную погрешность. Например, пусть 5 раз с помощью микрометра измерен диаметр проволоки, и все 5 раз получено одно и то же значение, значит случайная погрешность пренебрежимо мала, по сравнению погрешностью измерительного прибора, и за окончательную погрешность надо брать погрешность микрометра.

Если между этими ошибками обратное соотношение x_пр<<x_сл, то за окончательную погрешность принимают доверительный интервал, обусловленный случайными погрешностями. К примеру, с помощью того же микрометра, цена деления которого 0,01мм, несколько раз измерили толщину некоторого стержня, при этом разброс измерений оказался порядка 0,5 мм. В этом случае приборной погрешностью можно пренебречь.

Однако на практике нередко случается ситуация, когда случайная и приборная погрешности оказываются одного порядка. Тогда общую погрешность вычисляют как композицию этих двух. Подробнее в главе «Вычисление суммарной - случайной и систематической погрешности».

3. Элементы теории вероятностей и математической статистики.

Случайной называется величина, которая в результате опытов может принимать различные заранее неизвестные значения. Конкретное значение х_i , появляющееся в результате опыта, называется реализацией случайной величины.

Пусть i= 1,2,. . . ,Nномера опытов,Nих число, аx_i– реализации, полученные при повторении опытов. Пустьх₀ – истинное значение случайной величины, нам неизвестное.

Обозначим Δx_i=x₀ - x_i  абсолютную ошибкуi-го измерения, тогдаx_i= x₀ - Δx_i. Просуммировав эти равенства по всемi, получим:

или

,

(3)

где среднее арифметическое всех реализаций. Можно показать, что второе слагаемое в этом выражении стремиться к 0, еслиNстремиться к бесконечности. Таким образом, среднее арифметическое всех реализаций стремиться к истинному значению случайной величины при стремлении к бесконечности числа измерений. Отсюда можно сделать вывод, что увеличение числа измерений приводит к увеличению точности^.

Возможность тех или иных реализаций характеризуют вероятностьюих появления. При этом вероятность достоверного события принято считать равной 1, а невозможного – равной 0.

В том случае, когда величины x_i могут принимать непрерывный ряд значений, следует говорить не о вероятности конкретного значенияx_i, а о вероятности попадания результата измерений в некоторый интервал Δx_i.Разобьем всю область значенийx на одинаковые интервалы шириной Δx каждый.

Найдем число реализаций ΔNi, попадающих в каждыйi-ый интервал и относительную частоту их появления ΔNi/N Представим результаты графически. По оси абсцисс отложим значение величины x, а относительную частоту ΔNi/Nпредставим высотой полоски, построенной на интервале Δxiкак на основании.

Рис.1

Полученный график носит название гистограммы и характеризует распределение данной серии наблюдений. При большом числе измерений на гистограмме проявятся основные статистические закономерности:

1. полученные значения измеряемой величины симметрично распределяются относительно некоторого среднего значения ;

2. большие отклонения от среднего будут встречаться реже, чем малые.

	Если увеличивать число измерений и одновременно сужать ширину интервалов Δx, то в пределе при Δx→ 0 иN→ ∞ ломаная линия, ограничивающая гистограмму сверху, будет стремиться к плавной колоколообразной кривой (рис.2).
Рис.2

Такая кривая характеризует распределение результатов измерений при бесконечно большом числе наблюдений. Если при построении такой гистограммы по оси ординат откладывать относительную частоту появления реализации, отнесенную к единичному интервалу: ΔN_i/(N·Δx), то получающаяся в пределе кривая будет характеризовать распределениеплотности вероятностиполучения результатах_изм=х. Ордината этой кривой –плотность вероятности

(4)

Величина dP(x)=f(x)dx– вероятность того, что результат наблюдениях_измокажется в пределах от результатах до результатах+dx(рис. 2). Площадь под всей кривойf(x) имеет смысл появления хоть какого-нибудь результата наблюдений, то есть вероятности достоверного события, поэтому она равна единице. Этоусловие нормировкидля непрерывной случайной величины.

(5)

Вероятность того, что измеренное значение будет лежать в интервале [x₁,x₂] определится выражением:

(6)

то есть, равна площади, ограниченной кривой f(x) в этом интервале.

Кривая распределения результатов характеризует гипотетическую совокупность бесконечного числа наблюдений данной величины. Максимум кривой соответствует наиболее вероятному значению х=. Форма кривой зависит от точности измерений. Если точность высокая – большие отклонения встречаются редко, – то кривая имеет вид острого пика. Большая ширина колокола означает наличие больших случайных отклонений, то есть меньшей точности.

Законы теории вероятностей построены как асимптотические при х0 иN. Математическая статистика приближенно использует эти законы при конечныххиN.

Теория вероятностей утверждает, что случайные величины на практике наиболее часто подчиняются, так называемому, закону нормальногораспределения или закону распределенияГаусса. Плотность распределения определяется выражением:

f(x) = exp[]

(7)

Как видно из формулы (7) нормальная плотность распределения полностью определяется двумя параметрами теоретическим средним, и величиной², которую называютгенеральной дисперсиейраспределения. Значениезадает положение максимума^,² - его ширину. Величина дисперсии характеризует разброс результатов измерений (точность), чем меньше разброс, тем меньше будет², на графике это отразится как более узкий и высокий максимум.

Параметр называется теоретическим средне квадратичным отклонением реализаций (или стандартным отклонением). Нетрудно убедиться, что в точкахx = ± σграфик функцииf(x) имеет точки перегиба.

Такая же кривая описывает и распределение ошибок. Достаточно перенести начало координат в точку х=и тогда по оси абсцисс вместохбудут отложены значения ошибокх(отклонений от среднего).График функции f(Δx) изображен на рисунке 3.

Рис.3. Кривые нормального распределения Гаусса для трех значений параметра .

Функция плотности распределения вероятности позволяет рассчитать теоретическое среднее значение реализаций измеряемой величины, его называют математическим ожиданиемх₀ случайной величины:

(8)

Величина генеральной дисперсиитакже может быть вычислена с помощью этой функции:

(9)

Вероятность Р того, что значение случайной величиных, получаемой при одном измерении, окажется внутри заданного интервала (х₁ <x <x₂) определится выражением:

,

(10)

Это выражение называют интегралом вероятности. Данное соотношение позволяет решить две задачи – можно задать необходимый интервал и найти соответствующую вероятность; а можно, наоборот, задав требуемую вероятность, найти интервал, в который попадает искомое значениех. На практике чаще пользуются второй возможностью.

Эту вероятность называют доверительной вероятностью, а границы интерваладоверительными границами.

Воспользовавшись интегралом (10) можно определить, что вероятности попасть при одном измерении в интервал:

x0 - σ< x < x0+σ	равна	0,683 (68,3%)
x0 - 2σ< x < x0+2σ	-	0,950 (95%)
x0 - 3σ< x < x0+3σ	-	0,997 (99,7%)

Видно, что вероятность того, что результат измерения отличается от среднего больше чем на 3σ, очень мала (0,3%), именно на основании этого факта такие результаты принято считатьпромахом–«правило трех сигм».

Иногда интеграл вероятности представляют в другом виде. Вводится новая переменная , которая определяется соотношением:

=(х -х₀)/σ, тогдаd=dх/σи интеграл вероятности (10) принимает вид:

(11)

Доверительные границы тогда будут определяться как Δх =±×σ. Величина задается требуемой вероятностью.

Из сказанного ранее следует, что с вероятностью 68,3% отдельная реализация будет отличаться от х₀(от математического ожидания) не больше, чем наσ; с вероятностью 95% - не больше чем на 2σ, соответственно и т. д.