- •Математическая обработка результатов эксперимента.
- •1. Введение
- •2.Погрешности эксперимента, их виды. Возможности их оценки § 1. Понятие погрешности измерения
- •§ 2. Абсолютная и относительная погрешности.
- •§ 3. Промахи
- •§ 4. Систематические погрешности
- •§5. Случайные погрешности
- •§6. Неисключенные систематические погрешности
- •3. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
- •4. Распределение Стьюдента.
- •5. Практические способы расчета случайных погрешностей
- •§ 1. Обработка прямых измерений (алгоритм прямых измерений).
- •§ 2. Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок).
- •§ 3 Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных. (Формулы переноса ошибок)
- •§ 4. Два способа оценки погрешности при косвенных измерениях.
- •§ 5 Метод наименьших квадратов (мнк).
- •§6. Некоторые сведения о неравноточных измерениях.
- •6.Учет погрешности приборов.
- •7. Вычисление суммарной случайной и систематической погрешности.
- •8.Некоторые правила приближенных вычислений.
- •§ 1 Значащие цифры в приближенном числе
- •§ 2 Верные знаки в приближенном числе
- •§ 3 Правила округления
- •§ 4 Правила записи окончательного результата
- •§ 5.Предельная относительная погрешность
- •§ 6 Действия с приближенными числами.
- •9. Правила выполнения отчета по лабораторной работе
- •10. Рекомендации по построению графиков.
- •Приложения § 1. Таблица коэффициентов Стьюдента
- •§ 2. Распределение Стьюдента
- •§ 3. Вычисление среднего арифметического при измерениях высокой точности
- •§ 4. Расчет среднеквадратичного отклонения (другой вид формулы).
- •§ 5 Алгоритм вычисления среднеквадратичного отклонения при прямых измерениях высокой точности
- •§ 6 Среднеквадратичная погрешность среднего арифметического
- •§ 7 Определение коэффициентов линейной зависимости по мнк вывод.
- •Литература
§ 2 Верные знаки в приближенном числе
Если приближенное число записано без указания погрешности, то подразумевается, что значения всех разрядов известны точно – все знаки верные, а погрешность в этом случае не превышает половины единицы последнего десятичного разряда.
Например:
Приближенное число |
Число верных знаков |
Погрешность не превышает |
1,23 |
3 |
0,005 |
4317 |
4 |
0,5 |
0,056 |
2 |
0,0005 |
8,32104 |
3 |
0,005104 = 50 |
1,50 |
3 |
0,005 |
Однако более грамотно записывать приближенные числа с указанием погрешности. Цифры приближенного числа называются верными, если абсолютная погрешность не превосходит половины единицы низшего из этих цифр разряда. Цифры в последующих разрядах называют сомнительными.
Например:
Приближенное число |
Число верных знаков |
Сомнительные цифры |
47,520,15 |
2 |
0,52 – разряды десятых и сотых |
1,0540,008 |
2 |
0,054 – разряды сотых и тысячных |
1454 |
2 |
5 – разряд единиц |
1457 |
1 |
45 – разряды единиц и десятков |
231,180,45 |
3 |
0,18 – разряды десятых и сотых |
§ 3 Правила округления
При действиях с приближенными числами часто приходится отбрасывать лишние цифры (заведомо неверные) – округлять число. При этом соблюдают следующие правила.
Отбрасываемая (n+1)-я цифра меньше 5 – оставшаясяn-я цифра не изменяется. Например: 5,7645,76 или 423,1423.
Отбрасываемая (n+1)-я цифра больше 5 – оставшаясяn-я цифра увеличивается на единицу. Например:15,616 или 189190.
Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я отлична от 0 – оставшаясяn-я цифра увеличивается на единицу. Например: 23,5224 или 0,34530,35.
Отбрасываемая (n+1)-я цифра равна 5, а (n+2)-я и более мелкие разряды равны 0. В этом случае принято округлять дочетнойцифры. Если оставшаясяn-я цифра четная – ее сохраняют, если нечетная – ее увеличивают на единицу. Примеры: 13,5014; 275280; 0,54500,54
§ 4 Правила записи окончательного результата
Очень важно уметь правильно записать окончательный результат, не загромождая его лишними, заведомо неверными цифрами, но и не потерять необходимые знаки.
При записи окончательного результата в первую очередь округляют погрешность. Рекомендуемыйспособ оценки погрешности предполагает ее округление до двух значащих цифр (если первая цифра меньше 5) или одной (если первая цифра больше 5). Погрешность обычно округляют в большую сторону. После этого сам полученный результат округляют до того же разряда, что и погрешность, то есть оставляют в нем два сомнительных знака. Полученное число и его погрешность приводят к одинаковому разрядному множителю и выносят этот множитель за скобки. Обязательно указать размерность.
Например:
Получено в результате расчетов |
Следует записать |
x=0,0054837 см, x= 0,0002487 см |
x=(5,480,25) 10–3см |
x=60540548 Нx= 52487 Н |
x=(60545) 104 Н |
x=45,605 Омx= 0,375 Ом |
x=(45,600,38) Ом |
x= 1,399821x= 0,007524 |
x=(1,4000,008) |