§ 2. Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (впервые получено английским математиком В. Госсетом в 1908 г, который печатал свои работы под псевдонимом Стьюдент) выражается формулой

где - число измерений,t– коэффициент Стьюдента, Г() –гамма-функция, представляющая обобщенное понятие факториала ( для целых чисел Г(+1)=! Для полуцелых – Г=, Г=/2 и т.д.

Кривые функцииимеют такой же вид, как и кривыераспределения Гаусса (см. рис.2).

При n→∞ (практически уже приn>20) распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение Гаусса с единичной дисперсией (=1).

§ 3. Вычисление среднего арифметического при измерениях высокой точности

Вычисление среднего арифметического

Если выбрать значение близкое ктогда эту формулу можно записать в виде

=

Данная формула оказывается более удобной, чем первая тогда, когда численное значение измеряемых величин имеют несколько значащих цифр. В этом случае приходится находить среднее арифметическое небольших разностей, а не самих больших чисел

§ 4. Расчет среднеквадратичного отклонения (другой вид формулы).

По определению среднее квадратичное отклонение равно (см. формулы 12,13)

Числитель под корнем можно преобразовать:

Следовательно, среднеквадратичную погрешность можно записать в виде:

При использовании этой формулы алгоритм вычисления погрешности при прямых измерениях упрощается.

xi	xi2	= .
x1	x12
x2	x22
x3	x32
…..
xn	xn2

Однако следует иметь в виду, что в эту формулу входит малая разность, поэтому расчет необходимо производить с большим числом значащих цифр. Если вы проводите вычисления с помощью компьютера, то это условие выполняется. В том случае, если расчеты выполняются «вручную», или с помощью не очень совершенного калькулятора, то надежнее использовать алгоритм, предложенный в главе 5 §1.

§ 5 Алгоритм вычисления среднеквадратичного отклонения при прямых измерениях высокой точности

xi	xi-А	(xi-А)2	.
x1	x1-А	(x1-А)2
x2	x2-А	(x2-А)2
…..	…..	…..
xn	xn-А	(xn-А)2

Здесь А – число близкое к ,см§ 3.

§ 6 Среднеквадратичная погрешность среднего арифметического

Пусть - результаты отдельных измерений, каждое из которых характеризуется одной и той же дисперсией

Найдем выражение для среднего арифметического:

Т.к. дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, то дисперсия величины

При равноточных измерениях . Следовательно,

и .

Дисперсия среднего арифметического в раз меньше дисперсии отдельного измерения в серииизмерений. А среднеквадратичная погрешность среднеквадратичного враз меньше среднеквадратичного отдельного измерения. Из этого следует важный практический вывод: желая повысить точность измерений враз, нужно увеличить число измерений враз.

§ 7 Определение коэффициентов линейной зависимости по мнк  вывод.

Пусть в эксперименте измерен ряд значений некоторой величины xи, соответствующие им значения, величиныy. Между ними справедлива зависимость вида: y = ax + b.

Тогда сумма квадратов расстояний от экспериментальных точек до прямой будет равна:

Для решения задачи на нахождение минимума этого выражения необходимо приравнять нулю производные от этой суммы по двум неизвестным величинам aиb.

Взяв производные, получаем:

Преобразуем эти уравнения:

Решение системы из двух уравнений с двумя неизвестными приводит к следующим выражениям для коэффициентов aиb.