.

dV(ξ(t; x))

d

+∞

2

2

2

V(x)

=

=

∫ ||ξ(τ; x)|| dτ

=|| x|| .

= −|| ξ(τ; x)||

t = 0

(2)

dt

t = 0

dt

t

t = 0

Теперь вычислим производную функции V(x) по t

в точке x в силу

системы (1):

.

.

+ V, ϕ(t, x) =

V(x)

= V, A x + V, ϕ(t, x) = V(x)

(***)

(1)

(2)

= − x 2 + V, ϕ(t, x) .

Напомним, что x – вектор-столбец. Благодаря

V(x) = S x, x = ∑Sjkx jxk

(Sjk =Skj) ,

j,k

имеем

∂V

∑S1kxk

∂x1

k

= 2S x .

V(x) = M

= 2

M

∂V

∑

S

x

nk

k

k

∂xn

||ϕ(t, x) || →

Кроме того, из равномерной по

t

≥ 0

сходимости

x

→0

при

x → 0 получаем, что для

любого положительного

ε найдётся

hε > 0, при ко-

тором

||ϕ(t, x)|| < ε||x||

t ≥ 0, x : ||x|| ≤ hε <

H .

Следовательно, из (***)

следует

.

≤ −|| x||2 + |

V,

ϕ(t, x)

|≤ −|| x||2 +2 || S|| || x|| ε || x|| =

V(x)

(1)

= −|| x||2 (1−2ε || S||)< −

1

|| x||2 < 0,

2

если только

1

0 < ε <

, 0 <|| x|| < hε,

4 || S||

.

= 0.

причём V(0)

||ϕ(t, x) ||≤ a

x

1+α

t ≥ 0, x :

x

< H .

dx

= f(t, x) ,

dt

в которой f(t,0) ≡ 0

и векторная функция f(t, x)

дважды непрерывно диф-

ференцируема по x

в области t ≥ 0,

x

≤ H , причём производные

∂2f(t, x)

,

i, j =1,2,...n ,

∂xi∂x j

ограничены в указанной области, а матрица ∂f(t,0)

∂x

постоянна. Тогда сис-

A = ∂f(t,0)

тема (3) представима в виде (1), где

, и для неё справедлива

теорема 1.

∂x

у которой y = y0 – состояние равновесия, т.е.

f(y0 ) = 0 ( ||y0 ||< H) . Если все

собственные значения матрицы Якоби

A = f′(y0 ) = (fjk′ (y0 ))

n x n

имеют

отрицательные вещественные части,

то положение равновесия

y = y0

данной системы асимптотически устойчиво по Ляпунову.

□ Положим y = y0 +x . Тогда

dx

= A x +ϕ(t, x) ,

(1)

dt

где А – постоянная матрица и ϕ(t, x) C {(t, x)| t ≥ 0, ||x|| < H}

)

, причём

(

||ϕ(

t,

x) || →→

0 равномерно относительно t ≥ 0 при x → 0 .

x

Если хотя бы одно из собственных значений λ1,...,λn

матрицы

А имеет по-

□ Пусть

Re λ1,...,Re λm > 0 ; Re λm+1,...,Re λn ≤ 0

(1 ≤ m ≤ n) .

Выполним замену

x = eαt S y

(0 < α < min Re λj ),

1≤j≤m

eαt S

dy

+

eαt α S y = eαt A S y +ϕ(t, eαt S y) ,

или

dt

dy

= (Λ−αE) y +B y +ψ(t, y) ,

(*)

dt

где

ψ(t, y) = e−αt S−1 ϕ(t,eαt S y)

и

матрица

Λ−αE

не имеет собственных

значений с нулевой вещественной частью.

||ϕ(

t,

x) || →→

Из условия равномерной сходимости

0

относительно t ≥ 0

x

при

x → 0, следует, что для любого

ε > 0

найдётся такое положительное

hε,

что выполнено неравенство

||ϕ(t, x)|| ≤ ε||x||

t ≥ 0,

x :

x

< hε

< H .

Поэтому

ψ(t, y)

≤ e−αt

S−1

ε eαt

S

y

≤ ε

S−1

S

y

(**)

для всех x, удовлетворяющих

||x|| ≤ eαt ||S || || y|| ≤ hε, что равносильно неравен-

ству

||y|| ≤ e−αt || S||-1 hε

(***)

для всех достаточно малых

ε > 0 .

Положим

y

y =

1

μs = λs −α,

s

=1,2,...,n ,

M

,

yn

и перепишем систему (*) следующим образом

dy1

=μ y

+ b

y

+... + b

y

+ψ (t, y),

dt

1 1

12

2

1n

n

1

dy2

=

μ2y2 +... + b2n yn +ψ2 (t, y),

dt

LLLLLLLLLLLLLLLLL

dyn

=

μn yn +ψn (t, y),

dt