ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________94

решение ξ = 0 асимптотически устойчиво. Однако оно не является экспонен-

циально устойчивым, поскольку не существует положительных N и α, для которых неравенство

| x(t) |=| x0 (tt +0 1+1) | ≤ N | x0 | e−α(t−t0 )

справедливо при x0 ≠ 0 и всех t ≥ 0.

Теорема 1. Предположим, что существует положительно определенная квадратичная форма V(x) = xT P x , производная которой в силу системы (1) при некотором h > 0 удовлетворяет неравенству

где W(x) = −xTQ x – отрицательно определенная квадратичная форма и P, Q – постоянные симметричные матрицы. Тогда нулевое решение системы (1) экспоненциально устойчиво.

Очевидно,

0 < a ≤ a1, 0 < b ≤ b1 .

Из курса линейной алгебры известно, что

a x 2 ≤ V(x) = xT P x ≤ a1 x 2 , b x 2 ≤ −W(x) = xT Q x ≤ b1 x 2 .

Далее

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________95

Пусть здесь x = x(t) − произвольное ненулевое решение системы (1) с начальными данными в области Z0. Интегрируя последнее неравенство в пределах от t0 ≥ 0 до t, находим

для всех t ≥ t0 ■

20. Экспоненциальная устойчивость линейных нестационарных сис-

тем. Рассмотрим линейную однородную систему

с непрерывной на промежутке [0, +∞) матрицей A(t). Для таких систем нередко вводят несколько более «жёсткое» понятие экспоненциальной устойчивости, чем это было сделано выше.

О п р е д е л е н и е 2. Линейную систему (5) называют экспоненциально устойчивой, если существуют такие положительные константы α1 ,α2 ,β1,β2 ,

что для всех начальных данных t0 ≥ 0, x0 Rn выполняются неравенства

β1 x0 e−α1 (t−t0 ) ≤ x(t; t0 , x0 ) ≤ β2 x0 e−α2 (t−t0 ) t ≥ t0 . (6)

Нетрудно понять, что из экспоненциальной устойчивости системы (5) вытекает её асимптотическая устойчивость (но не обратно). В случае, когда матрица A(t) = A постоянна, оба указанных понятия эквивалентны.

З а м е ч а н и е 1. В классе линейных однородных систем (5) с переменной матрицей определения 1 и 2 не являются эквивалентными. В этом можно легко убедиться, рассмотрев линейное дифференциальное уравнение

x& = −2t x , обладающее решением x(t) = x0 e−t2 , для которого, как легко проверить, не будет выполняться левое из неравенств (6).

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________96

В следующей теореме представлен критерий экспоненциальной устойчивости системы (5).

Теорема 2. Для того чтобы система (5) была экспоненциально устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы существовали две квадратичные формы

V(t,x) = xT P(t) x , W(t,x) = xT Q(t) x , удовлетворяющие следующим двум условиям

2)матрица P(t) непрерывно дифференцируема на промежутке [0, +∞) и справедливо равенство

где X(t) – фундаментальная матрица данной системы. Введем квадратичную форму W(t,x) := xT x и функцию

формой, удовлетворяет условию 1). В самом деле, используя (8), при произвольно выбранном решении x = x(t) = x(t; t0 , x0 ) системы (5) получаем

+∞

= xT0 (X−1(0))−1 XT (t) ∫((X−1(t))T XT (τ) X(τ) X−1(t)dτ

t0

+∞

X(t) X−1(0) xT0 = xT ∫BT (τ, t) B(τ, t)dτ xT ,

t0

ГЛАВА 2. ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА_______________________________________________________97

где B(τ, t) = X( ) X−1 (t) . Изτполученного представления для V(t,x) благодаря произвольности выбора начальных данных (t0 , x0 ) (а значит, и произвольности

Достаточность. Пусть существуют квадратичные формы V и W, удовле-

творяющие условиям 1) и 2) теоремы. Тогда применимо следствие 1 из § 3, в соответствии с которым линейная система (5) является асимптотически устой-

Используя условие 1), для него можно записать