Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
22
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
4.92 Mб
Скачать

d 2 z

2 z

dx2

2

 

2 z

dxdy

2 z

dy

2

(5.15)

x

2

 

x y

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.9. Показать,

 

 

 

 

что

 

 

функция

z e kx sin y

удовлетворяет

уравнению

 

z

k

2 z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z e kx sin y /

 

e kx /

 

sin y ke kx sin y

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z e kx sin y /

 

e kx sin y /

e kx cos y

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z e kx sin y

/

e kx cos y / e kx sin y

 

y 2

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставив найденные выражения для

z

и

2 z

в заданное уравнение,

x

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ke kx sin y k e kx sin y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, мы показали

 

функция

 

z e kx sin y

удовлетворяет

указанному уравнению

z

 

k

2 z

.

 

 

 

 

 

 

 

x

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 5.7. Экстремумы функции двух переменных

Пусть z f x, y

определена в некоторой

области D. Точка

x0 , y0 D называется точкой максимума функции

z f x, y , если для

любых x, y в некоторой окрестности x0 , y0 выполняется неравенство

 

 

f x, y f x0 , y0

(5.16)

Точка x0 , y0

D называется точкой минимума функции z f x, y ,

если для любых

x, y

из некоторой окрестности

x0 , y0 выполняется

неравенство

 

f x, y f x0 , y0

 

 

 

(5.17)

80

Необходимое условие

 

экстремума функции двух переменных: Если

f x, y в точке x0 , y0

 

имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее

частные производные обращаются в ноль, либо хотя бы одна из них не существует.

Точки, в которых обе частные производные одновременно равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Сформулируем достаточные условия экстремума.

 

 

 

 

 

 

, y0 C .

 

 

Пусть f xx x0 , y0

A; f yy x0 , y0 B;

f xy x0

 

 

Тогда, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) AB C 2

0 , то в точке x

0

, y

0

f x, y экстремума не имеет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) AB C 2

0 , причем A 0,

то точка x

0

, y

0

- точка минимума

функции f x, y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) AB C 2

0 , причем A 0 , то точка x

0

, y

0

- точка максимума

функции f x, y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, исследование функции

f x, y

на экстремум следует

проводить по следующей схеме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Найти первые частные производные f x и

f y .

 

 

 

Решить систему

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x x, y 0

 

 

 

 

 

 

(5.18)

 

 

x, y 0

 

 

 

 

 

 

 

f y

 

 

 

 

 

 

 

Все полученные решения системы являются критическими точками для f x, y и только в них может быть экстремум.

2) Для каждого решения системы находим

 

 

 

A

2 f

; B

2 f

; C

2 f

 

(5.19)

 

 

 

x2

y 2

x y

 

 

 

 

 

 

 

и строим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

 

 

(5.20)

Если окажется 0 , то в исследуемой точке экстремума нет.

 

Если

0 ,

при

этом

A 0 , то

исследуемая точка – точка

максимума для f

x, y .

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

0 ,

A 0,

то исследуемая точка –

точка минимума для

f x, y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.10. Исследовать на локальный экстремум функцию z 23 x3 2xy y 2 1.

Решение:1) Найдем частные производные

81

z

 

 

2

 

 

3

 

2

 

/

2

 

x

 

 

 

 

x

 

2xy y

 

1

2x

 

2 y

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

x

 

 

z

 

 

2

 

 

3

 

2

 

/

 

 

y

 

 

 

 

x

 

2xy y

 

1

2x 2 y

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

y

 

 

Найдем критические точки, приравняв полученные частные производные нулю

2x2 2 y 0

 

 

 

 

 

2x 2 y 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решая систему, находим критические точки M1 0; 0 и M 2 1;1 .

 

2) Исследуем каждую точку.

 

 

 

 

Найдем вторые производные

 

 

 

 

 

 

2 z 2x2 2 y /

4x

 

 

x2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z 2x 2 y /

2

 

 

y 2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 z

2x2 2 y /

 

2

 

 

 

 

 

 

x y

 

y

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим точку M1 0; 0 Для нее

A

2 z

 

0;0

0

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

B

2 z

 

 

0;0 2

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

2 z

 

0;0

2

 

 

x y

 

 

 

 

 

Найдем значение по формуле (5.20)

0 2 22 4 0.

Следовательно, в точке M1 0; 0 экстремума нет. Рассмотрим точку M 2 1;1 .

Найдем

A

2 z

 

1;1

4

B

2 z

 

1;1

2

C

2 z

 

1;1

2

 

 

 

x2

 

y 2

 

x y

 

 

 

 

 

 

82

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

4 2 22 4 0 .

 

 

 

 

 

 

 

В точке M 2 1;1 экстремум

есть.

Число

A 4 0, следовательно, в

данной точке функция достигает локального максимума

zmax z 1;1

2

13 2 1 1 12

1

2

.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: локальный максимум функции z

 

 

2

достигается в точке

max

 

 

 

 

 

 

 

3

 

1;1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§5.8. Наибольшее и наименьшее значения функции

взамкнутой области

Своего наибольшего и наименьшего значения функция двух переменных может достигнуть либо в точках экстремума внутри области, либо на границе области. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:

а) Найти все критические точки, лежащие внутри данной области и вычислить значение в них исследуемой функции.

б) Исследовать поведение функции на границе области. Для этого уравнения границ области необходимо подставить в функцию и исследовать полученные функции одной переменной. Найти численные значения z в найденных точках экстремума.

в) Сравнивая все полученные численные значения z выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2.11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Y

 

 

 

 

 

z x2 4xy y 2 6x 2 y

 

 

 

 

 

 

в треугольнике, ограниченном

2

 

 

 

 

 

осями координат

и прямой

1

 

 

 

 

 

2x 3y 6 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Х

 

0

1

3

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

Заданная

область изображена на рисунке. Найдем

критические

точки, лежащие внутри области. Для этого найдем частные производные

= 2 + 4 − 2 − 6 − 2 = 2 + 4 − 6,

83

= 2 + 4 − 2 − 6 − 2 = 4 − 2 − 2.

Решая систему

2x 4 y 6 04x 2 y 2 0

Получаем

единственное

решение M 1;1 . Точка M лежит внутри

заданной области

 

 

z (1;1) 12 4 1 1 12 6 1 2 1 4

 

1

 

 

 

Исследуем поведение функции на границах

 

а) x 0

z y2 2 y

z 2 y 2

z 0 при y 1

Точка 0; -1 не лежит на границе области.

б) y 0

 

 

z x2 6x

 

z 2x 6

z 0 при x 3

 

 

 

 

 

 

z2 3; 0 9 18 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 2x 3y 6 0

 

 

 

y 2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

19

 

2

 

z x

 

 

4x 2

 

 

 

 

x

2

 

 

 

x

6x 2 2

 

 

 

x

 

z

 

 

x

 

6x 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

9

x 6

 

 

 

z

0 при x 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

 

 

3

 

27

 

 

19

 

27

 

 

2

 

 

27

 

 

71

 

 

 

 

 

 

 

z3

 

 

 

 

; 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

8

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

19

2

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

19

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кроме того найдем значение z

на границах отрезков в точках 0; 0 и

0; 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z4 0; 0 0

 

 

z5 0; 2 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сравнивая числа z1, z2 ,

 

z3 ,

 

z4 ,

z5

 

приходим к выводу, что наибольшее

значение функции достигается в точке 0; 0

 

zm a x 0 , а наименьшее в

точке 3; 0

 

zmin

9 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

zmax z 0; 0 0 ;

 

 

 

zmin

z 3; 0 9.

 

 

 

 

 

 

 

 

84

Задания для cамостоятельного решения

Задания 5.1. Найти производные функции:

5.1 = 2

5.2 = 2

5.3

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3

 

5.4 =

 

5.5 = log2

5.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания 5.2. Найти полный дифференциал функции:

 

 

 

5.8 = 33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.7 = −

 

2−3

5.9 = 2

 

2+ 2

 

5.10

= 4 2 3 − 3

5.11 = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

− 3 3

5.12 =

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания 5.3. Найти производные сложной функции = , ,

 

где

= ( ), = ( ):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.13

= −2 ,

= ,

 

= 3.

 

 

 

 

 

 

 

5.14

= + ,

= 2,

 

 

 

 

= 3.

 

 

 

 

 

 

 

5.15

= ,

= − 1 , =

2.

 

 

 

 

 

 

 

Задания 5.4. Найти

наибольшее

 

 

и

наименьшее значение

 

функции

= , , ограниченной заданными линиями.

 

 

 

 

 

 

 

 

5.16

= 3 + − ,

 

= , = 4, = 0.

 

 

 

 

 

 

 

5.17

= 5 2 − 3 + 2,

=

0, = 1, = 0, = 1.

 

 

 

 

5.18

= 2 + 2 + 4 − 2,

=

0, + = −2, = 0.

 

 

 

 

5.19

= 2 2 3 2 2,

=

0, = 0, + = 6.

 

 

 

 

 

 

VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 6.1. Непосредственное интегрирование

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если

а) F(x) дифференцируема на (a;b) b) F x f x , x a;b .

85

f x dx .

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на (a;b), то и любая функция F1 x F x C , также является первообразной для f(x)

на (a;b).

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) на (a;b) называется множество всех первообразных функции f(x) на этом интервале.

Неопределенный интеграл обозначается символом

Приведенное выше определение неопределенного интеграла обычно записывают в виде формулы:

f x dx F x C ,

(6.1)

где F x - любая из первообразных для функции f(x) на (a;b);

С - произвольная постоянная.

Операция нахождения всех первообразных функций f(x) называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла:

1)f x dx f x .

2)f x dx f x C.

3)Af x dx A f x dx.

4)f x g x dx f x dx g x dx.

Операция интегрирования является обратной по отношению к операции дифференцирования. Поэтому, используя таблицу производных элементарных функций, составим таблицу интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов:

I.

x dx

x 1

C

1 .

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

II.

 

ln

x a

C .

x a

 

 

a x

 

 

 

 

III.

a x dx

C .

 

 

 

 

 

 

 

ln a

 

IV.

ex dx ex C .

 

V.cosxdx sin x C .

VI. sin xdx cosx C .

86

VII.

 

 

 

dx

 

 

 

1

arctg

x

 

C

1

arcctg

x

C .

 

a

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

VIII.

 

 

 

dx

 

 

 

1

 

 

a x

 

C

1

ln

 

 

a x

 

 

 

C .

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

a

2

 

 

2

 

 

 

a x

 

a x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

IX.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

C arccos

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

a2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C a 0 .

 

X.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

x x 2 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XI.

 

 

dx

 

 

 

tg x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XII.

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

ctg x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод непосредственного интегрирования состоит в сведении заданного интеграла к сумме или разности табличных интегралов путем тождественных преобразований подынтегральной функции.

 

2 3

 

2

Пример 6.1. Найти интеграл

x

x

3

 

dx .

 

 

 

 

Решение: Возведем числитель подынтегральной функции в квадрат:

2 3 x 2 4 43 x 3 x 2 . Разделим полученное выражение на x3 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

x

 

 

 

 

4 43 x

 

3

 

x

 

 

4x 3 4x 8 3 x 7 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

4x 3 4x 8 3

x 7 3 dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:

 

 

4x 3 4x 83 x 7 3 dx 4 x 3dx 4 x 83 dx x 7 3 dx .

 

Полученные интегралы являются табличными (интеграл I),

поэтому, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1

 

 

 

 

 

 

 

8

 

1

 

 

 

 

 

7

 

1

 

4 x 3dx 4 x 8 3 dx x 7 3 dx 4

 

x

 

 

 

4

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

C

3 1

- 8 3

1

7 3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

12

 

 

 

3

 

1

 

C

 

2

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

3

 

 

 

C

 

 

 

 

 

x2

5

 

 

4

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x3 x

 

 

 

 

 

 

 

5x

3

 

 

4 x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x3 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом:

87

 

2

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

dx

2

 

12

 

 

3

 

 

C.

x

2

 

 

 

4x3

 

 

5x3 x2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

Правильность наших вычислений может быть проверена путем дифференцирования результата:

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

12

 

1

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x3 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x3 x 2

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

5

x

 

3

 

 

 

 

4

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

12

 

 

5

 

5

 

1

 

 

 

3

 

 

4

4

3 1

 

 

4

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

4 4x 13

x 2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

4x

 

 

3 x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

13 2

 

2 3

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате дифференцирования получили подынтегральное выражение. Следовательно, заданный интеграл вычислен верно.

 

 

2

3

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

3 x

dx

2

 

12

 

 

3

 

 

C.

x

2

 

 

 

4x3

 

 

5x3 x2

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

§ 6.2. Метод занесения под знак дифференциала

Метод занесения под знак дифференциала основан на определении дифференциала функции одной переменной:

 

 

 

 

 

(6.2)

 

f x dx df x

 

и свойстве инвариантности

дифференциала

первого

порядка: если

y f x , a x g z , то

 

 

 

 

 

dy f

x dx f

g z g

z dz

(6.3)

 

 

 

 

 

В силу этого свойства, таблица интегралов оказывается справедливой, независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Существуют стандартные ситуации, в которых рекомендуется использовать метод занесения под знак дифференциала. Некоторые из них приведены ниже:

88

f xn xn 1dx 1n f xn dxn

f cosx sin xdx f cosx d cosx

f sin x cosxdx f sin x d sin x

f ln x dxx f ln x d ln x

f arcsin x

 

 

dx

 

 

 

 

f arcsin x d arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

f arctgx

 

dx

 

 

f arctgx d arctgx

 

2

1

x

 

 

 

 

 

 

 

f tg x

 

dx

 

 

 

 

f tg x d tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

x

f ctg x

 

 

 

dx

 

 

 

f ctg x d ctg x

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Полезно заметить, что d ax b adx , поэтому

f ax b dx 1a f ax b d ax b

Пример 6.2. Найти x2 cos x3 6 dx .

(6.4)

(6.5)

(6.6)

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)

Решение: Применим метод занесения под знак дифференциала, воспользовавшись формулой (6.4):

 

 

 

cos x3 6 x2 dx

 

1

 

cos x3

6 d x3 d x3 d x3

6

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

cos x3

6 d x3

6 табличный интеграл V

 

1

sin x3

6 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

6 C

 

 

1

 

sin x

 

6

1

 

cos x

 

6 x

 

6

 

1

 

cos x

 

6 3x

 

 

3

 

 

3

 

3

3

 

3

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x2 cos x3 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

x2 cos x3

6 dx

1

sin x3

6 C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

89

Соседние файлы в папке Математика АВАКЯН