Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика АВАКЯН / posobie1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

d 2 z

2 z

dx2

2 z

dxdy

2 z

(5.15)

x y

y 2

Пример 5.9. Показать,

что

функция

z e kx sin y

удовлетворяет

уравнению

2 z

y 2

Решение:

z e kx sin y /

e kx /

sin y ke kx sin y

z e kx sin y /

e kx sin y /

e kx cos y

2 z e kx sin y

e kx cos y / e kx sin y

y 2

Подставив найденные выражения для

2 z

в заданное уравнение,

y 2

получаем

ke kx sin y k e kx sin y .

Таким образом, мы показали

функция

z e kx sin y

удовлетворяет

указанному уравнению

2 z

y 2

§ 5.7. Экстремумы функции двух переменных

Пусть z f x, y		определена в некоторой	области D. Точка
x0 , y0 D называется точкой максимума функции			z f x, y , если для
любых x, y в некоторой окрестности x0 , y0 выполняется неравенство
		f x, y f x0 , y0	(5.16)
Точка x0 , y0	D называется точкой минимума функции z f x, y ,
если для любых	x, y	из некоторой окрестности	x0 , y0 выполняется
неравенство		f x, y f x0 , y0
		f x, y f x0 , y0	(5.17)

Необходимое условие		экстремума функции двух переменных: Если
f x, y в точке x0 , y0		имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее

частные производные обращаются в ноль, либо хотя бы одна из них не существует.

Точки, в которых обе частные производные одновременно равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума. Сформулируем достаточные условия экстремума.

, y0 C .

Пусть f xx x0 , y0

A; f yy x0 , y0 B;

f xy x0

Тогда, если

1) AB C 2

0 , то в точке x

, y

f x, y экстремума не имеет.

2) AB C 2

0 , причем A 0,

то точка x

, y

- точка минимума

функции f x, y .

3) AB C 2

0 , причем A 0 , то точка x

, y

- точка максимума

функции f x, y .

Таким образом, исследование функции

f x, y

на экстремум следует

проводить по следующей схеме:

1) Найти первые частные производные f x и

f y .

Решить систему

f x x, y 0

(5.18)

x, y 0

f y

Все полученные решения системы являются критическими точками для f x, y и только в них может быть экстремум.

2) Для каждого решения системы находим

			A	2 f	; B	2 f	; C	2 f	(5.19)
			A	x2	; B	y 2	; C	x y	(5.19)
				x2		y 2		x y
и строим
				= −					(5.20)
Если окажется 0 , то в исследуемой точке экстремума нет.
Если	0 ,	при	этом	A 0 , то		исследуемая точка – точка
максимума для f		x, y .
Если	0 ,	A 0,	то исследуемая точка –					точка минимума для
f x, y .

Пример 5.10. Исследовать на локальный экстремум функцию z 23 x3 2xy y 2 1.

Решение:1) Найдем частные производные

2xy y

2 y

2xy y

2x 2 y

Найдем критические точки, приравняв полученные частные производные нулю


2x2 2 y 0
	2x 2 y 0
	2x 2 y 0
Решая систему, находим критические точки M1 0; 0 и M 2 1;1 .
	2) Исследуем каждую точку.
Найдем вторые производные
		2 z 2x2 2 y /				4x
		x2			x
		x2
		2 z 2x 2 y /			2
		y 2		y
		y 2
		2 z	2x2 2 y /				2
			2x2 2 y /				2
		x y			y
		x y

Рассмотрим точку M1 0; 0 Для нее


A		2 z				0;0	0
		2 z
		x		2
		x
B	2 z				0;0 2
	2 z
	y		2
	y
C		2 z				0;0	2
		2 z
	x y
	x y

Найдем значение по формуле (5.20)

0 2 22 4 0.

Следовательно, в точке M1 0; 0 экстремума нет. Рассмотрим точку M 2 1;1 .

Найдем

2 z

1;1

2 z

1;1

2 z

1;1

y 2

x y

Тогда

4 2 22 4 0 .
В точке M 2 1;1 экстремум			есть.	Число		A 4 0, следовательно, в
данной точке функция достигает локального максимума
zmax z 1;1	2	13 2 1 1 12	1	2	.
zmax z 1;1		13 2 1 1 12	1	3	.
3				3
Ответ: локальный максимум функции z								2	достигается в точке
Ответ: локальный максимум функции z						max			достигается в точке
						max	3
1;1 .							3
1;1 .

§5.8. Наибольшее и наименьшее значения функции

взамкнутой области

Своего наибольшего и наименьшего значения функция двух переменных может достигнуть либо в точках экстремума внутри области, либо на границе области. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции необходимо:

а) Найти все критические точки, лежащие внутри данной области и вычислить значение в них исследуемой функции.

б) Исследовать поведение функции на границе области. Для этого уравнения границ области необходимо подставить в функцию и исследовать полученные функции одной переменной. Найти численные значения z в найденных точках экстремума.

в) Сравнивая все полученные численные значения z выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2.11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Y				z x2 4xy y 2 6x 2 y
				в треугольнике, ограниченном
2				осями координат	и прямой
1				2x 3y 6 0.
1
		M
				Х
0	1		3	Х
0	1		3
Решение:
	Заданная		область изображена на рисунке. Найдем		критические

точки, лежащие внутри области. Для этого найдем частные производные

= 2 + 4 − 2 − 6 − 2 ′ = 2 + 4 − 6,

= 2 + 4 − 2 − 6 − 2 ′ = 4 − 2 − 2.

Решая систему

2x 4 y 6 04x 2 y 2 0

Получаем	единственное	решение M 1;1 . Точка M лежит внутри
заданной области
z (1;1) 12 4 1 1 12 6 1 2 1 4
1
Исследуем поведение функции на границах
а) x 0	z y2 2 y	z 2 y 2	z 0 при y 1

Точка 0; -1 не лежит на границе области.

б) y 0					z x2 6x									z 2x 6						z 0 при x 3
z2 3; 0 9 18 9
в) 2x 3y 6 0											y 2					2
в) 2x 3y 6 0											y 2					3x
																3x
			2						3								2		2					2					19		2
z x				4x 2							x			2				x		6x 2 2						x		z		x		6x 8
z x				4x 2							x			2				x		6x 2 2						x		z		x		6x 8
									2								3							3					9
			38																	27

z	9				x 6					z		0 при x 19
z	9				x 6					z		0 при x 19
		27				3		27					19		27				2		27				71
z3				; 2															6				8				.
z3		19		; 2		2								9					6		19		8		19		.
		19				2		19						9	19						19				19
Кроме того найдем значение z																					на границах отрезков в точках 0; 0 и
0; 2 .
z4 0; 0 0							z5 0; 2 8
Сравнивая числа z1, z2 ,																z3 ,		z4 ,		z5		приходим к выводу, что наибольшее
значение функции достигается в точке 0; 0																												zm a x 0 , а наименьшее в
точке 3; 0							zmin		9 .
Ответ:					zmax z 0; 0 0 ;													zmin		z 3; 0 9.

Задания для cамостоятельного решения

Задания 5.1. Найти производные функции:

5.1 = 2 − −		5.2 = 2		5.3	=
				5.3	=
			+
						2		3
5.4 =		5.5 = log2		5.6		2	−	3
5.4 =		5.5 = log2		5.6			−


	3

Задания 5.2. Найти полный дифференциал функции:

5.8 = 33

5.7 = −

2−3

5.9 = 2−

2+ 2

5.10

= 4 2 3 − 3

5.11 = 3

− 3 3

5.12 =

Задания 5.3. Найти производные сложной функции = , ,

где

= ( ), = ( ):

5.13

= −2 ,

= ,

= 3.

5.14

= + − ,

= 2,

= 3.

5.15

= ,

= − 1 , =

Задания 5.4. Найти

наибольшее

наименьшее значение

функции

= , , ограниченной заданными линиями.

5.16

= 3 + − ,

= , = 4, = 0.

5.17

= 5 2 − 3 + 2,

0, = 1, = 0, = 1.

5.18

= 2 + 2 + 4 − 2,

0, + = −2, = 0.

5.19

= 2 2 − 3 − 2 2,

0, = 0, + = 6.

VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 6.1. Непосредственное интегрирование

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a;b), если

а) F(x) дифференцируема на (a;b) b) F x f x , x a;b .

f x dx .

Если F(x) является первообразной для функции f(x) на (a;b), то и любая функция F1 x F x C , также является первообразной для f(x)

на (a;b).

Определение: Неопределенным интегралом от функции f(x) на (a;b) называется множество всех первообразных функции f(x) на этом интервале.

Неопределенный интеграл обозначается символом

Приведенное выше определение неопределенного интеграла обычно записывают в виде формулы:

f x dx F x C ,

(6.1)

где F x - любая из первообразных для функции f(x) на (a;b);

С - произвольная постоянная.

Операция нахождения всех первообразных функций f(x) называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла:

1)f x dx f x .

2)f x dx f x C.

3)Af x dx A f x dx.

4)f x g x dx f x dx g x dx.

Операция интегрирования является обратной по отношению к операции дифференцирования. Поэтому, используя таблицу производных элементарных функций, составим таблицу интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов:

I.	x dx			x 1			C		1 .

				1
		dx
II.			ln		x a			C .
		x a
				a x
III.	a x dx					C .

				ln a
IV.	ex dx ex C .

V.cosxdx sin x C .

VI. sin xdx cosx C .

VII.

arctg

arcctg

C .

VIII.

a x

C .

a x

IX.

arcsin

C arccos

C .

x 2

C a 0 .

x x 2 a

x 2

a 2

XI.

tg x C .

cos2 x

XII.

ctg x C .

sin

Метод непосредственного интегрирования состоит в сведении заданного интеграла к сумме или разности табличных интегралов путем тождественных преобразований подынтегральной функции.

	2 3			2
Пример 6.1. Найти интеграл	2 3		x	2
Пример 6.1. Найти интеграл	x	3		dx .
	x

Решение: Возведем числитель подынтегральной функции в квадрат:

2 3 x 2 4 43 x 3 x 2 . Разделим полученное выражение на x3 :

									2													2
			2 3			x			2		4 43 x							3		x		2	4x 3 4x 8 3 x 7 3 .

					x3								x3
					x3								x3
Таким образом, получаем
							2 3					2
							2 3			x		2				4x 3 4x 8 3										x 7 3 dx .
									x3			dx				4x 3 4x 8 3										x 7 3 dx .
									x3
Воспользуемся свойствами 3 и 4 неопределенного интеграла:
		4x 3 4x 83 x 7 3 dx 4 x 3dx 4 x 83 dx x 7 3 dx .
Полученные интегралы являются табличными (интеграл I),
поэтому, получаем:
																			3 1								8		1				7		1
4 x 3dx 4 x 8 3 dx x 7 3 dx 4																		x						4		x		3				x		3		C
4 x 3dx 4 x 8 3 dx x 7 3 dx 4																	3 1							4	- 8 3					1		7 3 1				C
																	3 1								- 8 3					1		7 3 1
	2		12			3		1		C					2						12						3				C
	x2		5					4						x2
			5					4																		4x3 x
			5x	3		4 x 3													5x3 x2							4x3 x

Таким образом:

2	3		2
			2

		3 x	dx	2	12	3		C.
x				2		4x3
				2	5x3 x2
				x	5x3 x2		x

Правильность наших вычислений может быть проверена путем дифференцирования результата:

	2						12						3						1				12			1					3			1
	2						12						3						1				12			1					3			1
															C	2
		x 2																									5							4
										4x3 x																	5							4
						5x3 x 2				4x3 x									x 2				5	x				3			4	x			3
	4			12				5			5		1		3	4		4	3 1		4				8				7				4 4x 13				x 2 3
									x			3	1				x					4x				3 x				3
x 3					5				x			3					x			x 3		4x				3 x				3						x 3
x 3					5			3							4	3				x 3																x 3
2 x					13 2			2 3						2
2 x					13 2			2 3					x	2
			x 3								x 3
			x 3								x 3

В результате дифференцирования получили подынтегральное выражение. Следовательно, заданный интеграл вычислен верно.

	2	3		2
				2

Ответ:			3 x	dx	2	12	3		C.
	x				2		4x3
					2	5x3 x2
					x	5x3 x2		x

§ 6.2. Метод занесения под знак дифференциала

Метод занесения под знак дифференциала основан на определении дифференциала функции одной переменной:

				(6.2)
	f x dx df x			(6.2)
и свойстве инвариантности	дифференциала		первого	порядка: если
y f x , a x g z , то
dy f	x dx f	g z g	z dz	(6.3)

В силу этого свойства, таблица интегралов оказывается справедливой, независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или дифференцируемой функцией.

Существуют стандартные ситуации, в которых рекомендуется использовать метод занесения под знак дифференциала. Некоторые из них приведены ниже:

f xn xn 1dx 1n f xn dxn

f cosx sin xdx f cosx d cosx

f sin x cosxdx f sin x d sin x

f ln x dxx f ln x d ln x

f arcsin x

f arcsin x d arcsin x

1 x2

f arctgx

f arctgx d arctgx

f tg x

f tg x d tg x

cos

f ctg x

f ctg x d ctg x

sin

Полезно заметить, что d ax b adx , поэтому

f ax b dx 1a f ax b d ax b

Пример 6.2. Найти x2 cos x3 6 dx .

(6.4)

(6.5)

(6.6)

(6.7)

(6.8)

(6.9)

(6.10)

(6.11)

(6.12)

Решение: Применим метод занесения под знак дифференциала, воспользовавшись формулой (6.4):

	cos x3 6 x2 dx								1	cos x3			6 d x3 d x3 d x3										6
	cos x3 6 x2 dx							3		cos x3			6 d x3 d x3 d x3										6
								3
		1		cos x3		6 d x3				6 табличный интеграл V															1	sin x3			6 C
				cos x3		6 d x3				6 табличный интеграл V																sin x3			6 C
	3																							3
Проверка:
	sin x				6 C		1	sin x				6		1	cos x				6 x			6					1	cos x			6 3x
	sin x		3		6 C			sin x			3	6			cos x			3	6 x		3	6						cos x		3	6 3x	2
1			3								3							3			3									3		2

3							3							3													3
x2 cos x3 6
	Ответ:							x2 cos x3					6 dx			1	sin x3			6 C
	Ответ:							x2 cos x3					6 dx				sin x3			6 C
																3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 219 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика АВАКЯН

#
15.04.20154.92 Mб40posobie1.pdf
#
15.04.2015342.22 Кб52predely_11.docx