Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика АВАКЯН / posobie1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

sin2 x 1 cos 2x 2

cos2 x 1 cos 2x (6.51) 2

sin x cos x 12 sin 2x

3) m n 2k

k N .

В этом случае подынтегральная функция записывается в виде дроби. В знаменателе этой дроби выделяется множитель cos2 x (или

	2		dx		dx		заменяется на d tg x	d ctg x и
sin		x ). Выражение
			cos2 x
				sin2		x

делается замена tg x t .

Пример 6.15. Найти sin3 x cos2 xdx .

Решение: По условию одна из степеней нечетная,

поэтому можно

записать

sin3 x cos2

xdx sin2

x cos2

x sin xdx sin2 x cos2

xd cos x

cos x t

1 t 2 t 2 dt t 4

t 2 dt

sin2 x 1 cos2 x 1 t 2

t 5

t 3

cos5 x

cos3

Пример 6.16. Найти sin2 x cos2 xdx .

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию:

sin2 x cos2 x	1	sin2	2x ,	т.е. m 2	n 0
	4

Применим формулу понижения степени (1.51)

14 sin2 2x 81 1 cos4x

Тогда

110

sin4 x

sin2 x cos2 xdx 81 1 cos 4x dx 81 dx 81 cos 4xdx 8x 321 sin 4x C

Ответ: sin 2 x cos2 xdx 8x 321 sin 4x C

Пример 6.17. Найти cos8 x dx .

Решение: m n 4 8 4, поэтому поступим согласно схеме п.3:

sin4

x dx

sin4

d tg x tg4

d tg x

cos

x cos

cos

tg x

t 5

t 7

tg5

tg7

t 4 1 t 2

dt t 4 t 6 dt

1 t

cos

II. Интегралы вида

cos a1 x b1 cos a2 x b2 dx
cos a1 x b1 sin a2 x b2 dx										(6.52)
sin a1 x b1 sin a2 x b2 dx
преобразуются с помощью тригонометрических формул
cos cos			1		cos cos
	2

sin sin	1			cos cos						(6.53)
	2

sin cos		1		sin sin
	2

Пример 6.18. Найти sin x sin						x	sin	x	dx .

				2				3

Решение:

Преобразуем подынтегральную функцию с помощью формул

(6.53):

111

sin x sin	x	sin	x	dx sin x	1	cos	x	cos	5x	1	sin x cos	x	1	sin x cos	5x

2		3					6			2	6 2			6
					2				6

	1	sin	7x	sin	5x	1	sin	11x	sin	x

4			6			4		6
					6					6

Тогда

sin x sin			x		sin		x		dx			1
sin x sin					sin				dx
		2				3						4
1	6			7x				6			5x
		cos								cos
		cos								cos
4	7			6				5				6

	7x		5x		11x		x
sin		sin		sin		sin		dx
sin		sin		sin		sin		dx
	6		6		6		6

6	cos	11x	6cos	x	C


11		6		6

Ответ:

sin x sin

11x

sin

cos

6 cos

6 5

6 11

III. Интегралы вида:

tgm xdx;

ctgm xdx , где m - целое положительное

число, преобразующиеся с помощью тригонометрических формул:

tg2			1	;

	cos2		1
	cos2		1
ctg2			1

		sin	2 1
		sin	2 1

При применении этих формул последовательно понижается степень тангенса или котангенса.

Пример 6.19. Найти tg5 xdx .

Решение:

		5							3				2							3			1										3	xd tg x tg		3
tg			xdx			tg				x tg					xdx tg						x								1 dx tg								xdx
tg			xdx			tg				x tg					xdx tg						x					2			1 dx tg								xdx
																						cos					x
	1			4									1									1		4			x tg xd tg x tg xdx
		tg			x		tg x										1 dx						tg
	4	tg			x		tg x								2		1 dx					4	tg
	4									cos						x						4
	1	tg4 x					1	tg2		x				d cos x							1	tg4 x						1		tg2 x ln		cos x			C
	1						1							d cos x							1							1

	4					2										cos x					4						2
	4					2										cos x					4						2
Ответ: tg5 xdx											1	tg4 x						1	tg2		x ln				cos x						C
											1							1

										4							2
										4							2

112

§ 6.10. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим интегралы вида

R cosx, sin x dx

(6.54)

Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции аргумента t с помощью замены переменной, называемой универсальной тригонометрической подстановкой:

tg 2x t

x 2arctg x	dx	2dt
		1 t 2

Тогда, воспользовавшись тригонометрическими формулами:

2 tg x sin x 2

1 tg2 2x

1 tg2 x cos x 2 1 tg2 2x

получаем:

1 t 2

2dt

R cosx, sin x dx R

t dt

1 t

Пример 6.20. Найти интеграл

a cosx b sin x

(6.55)

(6.56)

(6.57)

(6.58)

(6.59)

Решение: Сделаем универсальную тригонометрическую подстановку (6.57). Тогда, воспользовавшись формулами (6.56) - (6.58), получаем:

2dt

1 t 2

a cos x b sin x

1 t 2

at 2

2bt a

1 t 2

113

Разложим знаменатель полученного выражения на множители:

at 2 2bt a a t t1 t t2 ,

b2 a 2

где t

1,2

- корни соответствующего квадратного уравнения.

Таким образом

2dt

at 2 2b a

t t

Разложим подынтегральную функцию на простейшие

A B t At2 Bt1

t t1 t t2

t t1

t t2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем:

A B

A B 0

At2

Bt1 1

B t2 t1 1

b a 2

2 a 2

Таким образом,

a t t1 t t2 a 2

a 2 b2

b a 2

at b

a 2

b a 2 b2

114

Возвращаясь к исходной переменной x t tg

получаем

a tg

b a2 b2

a cos x b sin x

a2 b2

a tg

b a2

Ответ:

a cos x b sin x

a2 b2

a tg

Следует заметить, что в случае, если подынтегральная функция

R cosx, sin x

является

четной

по

обоим аргументам, т.е.

R cos x, sin x R cos x,sin x , то нахождение интеграла (6.54) заметно

упрощается, если вместо замены (6.55) сделать подстановку
tg x t	(6.60)

Пример 6.21. Найти 4 cos2 x 5sin2 x .

Решение: Подынтегральная функция является четной по обоим аргументам:


1				1

	4 cosx 2 5 sin x 2		4 cos2 x 5sin2 x
Сделаем замену: t tg x . Тогда		x arctgt	dx	dt
					.
				1 t 2

Используя тригонометрические функции, получаем:

sin2	x	tg2 x		t 2
		tg2 x		t 2
	1		1
cos2	x	1		1

		tg2 x		t 2
	1		1

Подставляем sin2 x, cos2 x, dx в искомый интеграл:

115

															dt
					dx																				dt		1		dt
					dx										1 t 2										dt		1		dt
				2				2												2						2					2
	4 cos			2	x 5sin			2	x						1				5t	2			3		9t	2	3			3 t	2
	4 cos				x 5sin				x		4				1				5t				3		9t		3	1		3 t
											4			1 t 2				1 t 2
		1								1
						3t C															C
			arctg										arctg			3 arctg x

	3	3								3		3
	3	3								3		3							arctg					arctg x C
Ответ:									dx							1
									dx							1						3
					4 cos		2		x	5sin			2	x
							2						2
															3		3

Задания для cамостоятельного решения

Задание 6.1. Найти интегралы и сделать проверку.


	x					6.2	dx										6.3	4 5x3						x 3				x x2	dx
6.1				xdx														4 5x3
							4
								x																		x3
	2 5x 2 dx																							1 2
6.4							2					1 x2
6.4							2					1 x2									x
						6.5										dx	6.6										dx
						6.5										dx	6.6										dx
											1 x2														x
6.7	ex		32 x dx			6.8	x2				4			dx			6.9			x2			dx
						6.8	3x		2			3		dx			6.9		4	x		2	dx
				dx			3x					3							4	x
				dx									dx														2
6.10						6.11											6.12 tg x ctg x dx
6.10		x	4	x	2	6.11	sin			2		x cos			2	x	6.12 tg x ctg x dx
		x		x			sin					x cos				x

Задание 6.2. Найти интегралы, используя метод занесения под знак дифференциала.

6.13

cos xdx

2 x

xdx

6.14

6.15

5 sin x 3

2x3 3

6.16

sin 2xdx

6.17

xdx

6.18

xdx

1 sin

4 x

5x dx

6.19

6.20

6.21

cos

25x

x ln x3

1 2

6.22

arctg

6.24

6.23

x 2 ln x 2

1 x

x3 1

Задание 6.3. Найти интегралы, используя формулу интегрирования по частям.

6.25	ln 5xdx	6.26	2x sin x cos xdx		6.27	arccosxdx
6.28	x2 1 sin xdx	6.29	3x2	5 e2 x dx	6.30	x2 arctgxdx
				116

6.31

e2 x cosxdx

6.32

cos ln x dx

6.34

sin

x5ex2 dx

xdx

6.35

Задание 6.4. Найти интегралы.

6.37

6.38

10x 25

6.40

6.41

xdx

2x 3

6x 5

6.43

x 3

6.44

ex dx

x 2

2x 3

e2 x 7ex

6.46

4x 3 5x

Указания:

6.33ln 3 x dx

6.36	arcsin x	dx
6.36		dx
	1 x2 3

6.39 x 2 4x 8

6.42				xdx

	2x		2	2x 5
	2x			2x 5
6.45	2x3 3x						dx
6.45	x	4	x		2	1	dx
	x		x			1

взадании 6.44 воспользоваться подстановкой ex t ;

взаданиях 6.45 и 6.46 воспользоваться подстановкой x 2 t .

Задание 6.5. Найти интегралы.

6.47

3x 2 3x 12

6.48

x 2 dx

6.49

6.50

x 8 dx

6.51

x 4 1 dx

6.52

x4 6x3 12x2 6 dx

x 3 4x 2

x3 6x2 12x 8

x 3 x 2

x 1

6.53

x 1 2 dx

6.54

xdx

6.55

x 2 dx

x2 1 2

x 1

Указание: в задании 6.54

воспользоваться

подстановкой

x 2 3 t , в

задании 6.55

x 1 t

Задание 6.7. Найти интегралы.

x 3

1 4

6.66

6.67

6.68

1 10

25 x 2

1 3 x

1 3 x 2

6.69

6.70

x 5

x 2

x 6 x 5

117

Задание 6.8. Найти интегралы.

6.71

cos3 xdx

6.72 sin5 x cos2 3

xdx

6.73 sin4 xdx

6.74

6.75

6.76

cos2x cos6xdx

sin

x cos x

sin x cos7 x

6.77

sin 3x cos5xdx

6.78

cos x cos

cos

6.79

tg4 xdx

6.80

ctg6 xdx

Задание 6.9. Найти интегралы.

6.81

6.82

6.83

sin

sin x cos x

5 3cos x

6.84

6.85

6.86

4sin x 7cos x

8cos x sin x

sin

x 5sin x cos x

6.87

6.88

5 cos

x 9 sin

sin

x 2 sin x cos x 5cos

VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 7.1. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла

Пусть

на отрезке

a;b

задана функция

y f

Разобьем отрезок

a;b произвольным образом

точками a x0

b на n

частичных

отрезков длиной

xi 1 .

Выберем

внутри

каждого

частичного отрезка точку i : xi 1

(рис.7.1.).

Найдем

значение

функции y f x в точках i .

118

A B

3 4 0


a 1 x1 2	x2	n-1 xn-1 n b	X

Рис. 7.1

Интегральной суммой функции	y			на отрезке		называется
Интегральной суммой функции	y	f	x	на отрезке	a;b	называется
сумма вида:
	n		i xi
Sn	f		i xi			(7.1)

i 1

Геометрически Sn представляет собой алгебраическую сумму

площадей прямоугольников, в основаниях которых лежат частичные отрезкиxi , а высоты равны f i (рис. 7.1).

Определение: Определенным интегралом от функции f x на отрезке


a;b	называется предел интегральной суммы (7.1), найденный при условии,
что длина наибольшего из частичных отрезков стремится к нулю:
	n	b
	lim f i xi	f x dx	(7.2)
	max xi 0 i 1	a

Справедлива следующая теорема:

Если функция y f x непрерывна на отрезке a;b , то она интегрируема на a;b ; т.е. предел интегральной суммы (7.1) существует и не зависит от способа разбиения отрезка a;b .

Свойства определенного интеграла:

b	b	b
1) f x g x dx f x dx g x dx			(7.3)
a	a	a
		119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика АВАКЯН

#
15.04.20154.92 Mб40posobie1.pdf
#
15.04.2015342.22 Кб52predely_11.docx