Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика АВАКЯН / posobie1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

4.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

§ 6.6. Интегрирование рациональных функций

Функция, заданная в виде

Pn x		a0 x n a1x n 1 .. an 1x an	a0 0	(6.33)
Qm m		b0 x m b1x m 1 .. am 1x bm	b0 0	(6.33)

называется рациональной функцией.

Если n m, то дробь правильная, при n m - дробь неправильная.

I.Метод интегрирования правильной рациональной дроби состоит

вразложении этой дроби на простейшие. При этом следует пользоваться следующим правилом:

а) каждому простому действительному корню а знаменателя Qm x соответствует одно слагаемое в разложении:

	A	(6.34)

	x a
	x a

б) каждому действительному корню b кратности k знаменателя Qm x соответствует сумма k - слагаемых:

(6.35)

x b

x b 2

x b k

в) каждой паре простых комплексных

корней

знаменателя

Qm x соответствует слагаемое:

Mx N

a ib

- корни x 2

px q

(6.36)

x 2 px q

г) каждой паре комплексных корней

кратности l

знаменателя

Qm x соответствует сумма слагаемых:

C1 x D1

C2 x D2

Cl x Dl

x 2 p1 x q1

x 2 p x q

x 2

p x q

(6.37)

i - корни x 2

p x q

100

Таким образом

Pn x

x a x b k x 2 px q x 2 p1 x q1 l

x a

Mx N

C1 x D1

(6.38)

x b

x b 2

x b k

x 2 px q

x 2 p1 x q1

C2 x D2

Cl x Dl

x 2 p1 x q1 2

x 2 p1 x q1 l

Числа

B1 , B2 , , Bk , M, N , C1 ,

, Cl , D1 , , Dl

могут быть

найдены с помощью метода неопределенных коэффициентов. Для этого необходимо:

1)привести к общему знаменателю сумму дробей, стоящую в правой части (6.38);

2)приравнять числитель полученной дроби к Pn x ;

3)приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x в полученном в п.2 равенстве;

4)решить полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных A, B1 , B2 ...

Из (6.38) видно, что вычисление интеграла от правильной рациональной функции сводится к вычислению одного из интегралов вида:

а)		dx			;
а)					;
		x a
б)		dx					;

		x b				k
		x b
в)	Mx2			N dx				;
		x	px q
г)			Cx D							dx .

	x 2		px q						l
	x 2		px q

Интегралы вида а) и б) являются табличными (с учетом (6.14)) - интегралы типа II и I. Вычисление интеграла вида в) рассмотрено в параграфе 6.5. (формула (6.32)). Интеграл вида г) может быть вычислен с помощью формулы:

		dt			1				t						dt
		dt			1				t			2k 3			dt			(6.39)
t	2	a	2	k	2k 2 a	2	t	2	a	2	k 1	2k 3	t	2	a	2	k 1	(6.39)
	2		2					2		2				2		2
									101

позволяющей свести его после k шагов к табличному интегралу типа

VII.

II.Интегрирование неправильной рациональной дроби начинается

спредставления ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби путем деления числителя на знаменатель.

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Пример 6.10.	Найти интеграл	x3 1				dx .
		x	3	x	2

Решение: Подынтегральная функция не является правильной, поэтому предварительно необходимо выделить в ней целую часть

x3 1 x3 x2

x3 1x3 x2

x3 x2 x2 1

x2 1

x3 x2

x2 x 1

dx dx

dx x

x 1

Разложим подынтегральную функцию на простые дроби, согласно

(6.34) и (6.35):

x2 x 1

x 1

Найдем A, B1 , B2

методом неопределенных коэффициентов:

B x

x 1

x2 x 1

x 1

x2 x 1

Приравниваем числители:

x2 1 Ax2 B x2

B x B x B

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

102

x2		1	A B1
x1		0 B1
				B2
x	0	1	B2

Решаем полученную систему:

A B1 1			A 2
	B1 B2	0
	B1 B2	0	B1 1
	B 1		B 1
	2		2

Подставляем полученные значения A, B1 и B2 в разложение:

x2 x 1

x 1

Ответ:

x 3

dx x

x 2 ln

x 1

x 1 x

§ 6.7. Интегрирование иррациональных выражений

I. Интегралы вида	x, n1 xm1 , n2	xm2 , , nl xml dx
			(6.40)

сводятся к интегралам от рациональной функции с помощью замены

x t k

(6.41)

где k - наименьшее общее кратное чисел n1, n2, ..., nl.

Пример 6.11. Найти

xdx

x 3

Решение: Сделаем замену согласно (1.42) x t 6 ,

dx 5t 5 dt .

Тогда

t 3

t 6

xdx

6t 5dt

6t 5dt 6

dt .

t 3 t 2

t 2 t 1

t 1

x 3 x

103

Выделим целую часть подынтегральной функции:

t 6

t 6 1 1

t 6 1

t 1 t 5 t 4 t 3 t 2 t 1

t 1

t 5 t 4 t 3 t 2 t 1

Таким образом

t 6

dt 6

t 1

t 6

t 5

t 4

t 3

t 2

t ln

t 1

Возвращаясь к исходной переменной x получаем:


			xdx									6			5		3			2			1							1		1
			xdx									6			5		3			2			1							1		1						1
								x						x		6			x		3 2x				2			3x			3	6x			6 ln			x		6	1	C
			3									5				6		2													3									6
	x						x
	x						x
					6					3
x					6	6 x5				3	3		x 2			2 x 33 x 66 x ln																		6 x 1			C
x						6 x5					3		x 2			2 x 33 x 66 x ln																		6 x 1			C
				5					2
				5					2

Ответ:				xdx									6 6							3 3

									x								x5							x2 2					x 33 x 66										x ln			6	x 1	C

		x			3 x								5							2
		x			3 x								5							2
II. Интегралы вида

																ax b							ax b										ax b
								R x,						n1		ax b				, n2			ax b				, ,					nl	ax b			dx							(6.42)
								R x,						n1		cx d				, n2			cx d				, ,					nl				dx							(6.42)
																cx d							cx d										cx d
рационализируется подстановкой:
																						ax b				t k																	(6.43)
																						cx d				t k																	(6.43)
																						cx d

где k - наименьшее общее кратное чисел n1, n2, ..., nl.


Пример 6.12. Найти интеграл						1	x dx

					1		x x
					1		x x
Решение: Сделаем подстановку		1	x	t 2 .
Решение: Сделаем подстановку	1		x	t 2 .
	1		x
			104

	Найдем x			1 t 2				,	dx		4tdt
	Найдем x			1 t				,	dx				2
				1 t
						2				1 t
												2
	Тогда

1 x dx			t		1 t 2				4tdt					4t 2dt					4	t 2dt

1		x x			1	t	2		1 t 2	2		1	t		2	1	t	2		1 t 1 t 1 t	2
1		x x			1	t			1 t 2			1	t			1	t			1 t 1 t 1 t

Найдем полученный интеграл, разложив подынтегральную функцию на простейшие дроби:

t 2

Mt N

1 t 1 t 1 t 2

1 t

1 t 2

A t 3 t 2 t 1 B t 3 t 2 t 1 M t t 3 N 1 t 2

1 t 1 t 1 t 2

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

числителей, получаем:

0 A B M

M 0

1 A B N

N 1 2

0 A B M

A 1 4

0 A B M

B 1 4

Таким образом

t 2 dt

t 2

4 1 t

2 t 2 1

1 t 1 t

1 t

2 arctg t C ln

2 arctgt C

1 t

Возвращаясь к исходной переменной получаем :

1 x dx

1 x 1 x

1 x

2arctg

C .

1 x

Ответ:

1 x

1 x 1 x

2 arctg

1 x

1 x 1 x

1 x x

105

§ 6.8. Интегрирование дифференциального бинома

Выражение

				x m a bx n p dx	(6.44)
называется дифференциальным биномом.
				xm a bxn p dx	(6.45)
может быть найден				в элементарных функциях только в следующих
случаях:
1)	р - целое, m, n - произвольные числа;
2)	р - нецелое,	m 1		- целое число;
		n

3)	р - нецелое,	m 1	p - целое число.

Для нахождения интеграла (6.45) в перечисленных выше случаях применяются подстановки, известные как подстановки Чебышева.

1)р - целое. В данном случае интеграл (6.45) является частным случаем

R x m , x n dx , нахождение которого рассмотрено в п.1.8. Согласно

(1.41) необходимо сделать подстановку
			x t s		(6.46)
где s - наименьшее общее кратное знаменателей чисел m и n.
2) р - нецелое, пусть p	k	,	m+1	- целое.

	s		n

Подынтегральная	функция в (6.45)				рационализируется с помощью
подстановки:
				a bxn t s		(6.47)
3) р - нецелое, p	k	,	m+1	p - целое.
3) р - нецелое, p		,		p - целое.
	s		n
Подынтегральная	функция в (6.45)				рационализируется с помощью
подстановки:
				ax n b t s		(6.48)

106

Пример 6.13. Найти x 5 3 1 x 3 2 dx .

Решение: Запишем данный интеграл в виде (6.45):

x5 3 1 x 3 2 dx x5 1 x 3 2 3 dx

По условию p				2	, m 5, n 3.
По условию p					, m 5, n 3.
		3
	m 1	5 1	2 -		целое, поэтому для нахождения заданного интеграла
			2 -		целое, поэтому для нахождения заданного интеграла
	n	3
сделаем подстановку согласно (6.47):						1 x 3 t 3

2 3 t 2 dt

Тогда x

t 3

1 13 ;

t 3

Таким образом

x 5 1 x 3 2 3 dx t 3 1 53 t 2 t 3 1 2 3 t 2 dt t 3 1 t 4 dt

t 7 t 4 dt

t 8

t 5

5t 3 8 C

1 x 3 53

5x 3

3 C

Ответ: x5 1 x3 2 3 dx 1 x3 53

5x3 3 C

Пример 6.14. Найти 3 1 x 3 dx . x 2

Решение: Запишем данный интеграл в виде (6.45)

		3	1 x 3							13
						dx x 2 1 x3					dx
			x	2		dx x 2 1 x3					dx
			x
Таким образом, видно, что m 2, n 3,										p			1
Таким образом, видно, что m 2, n 3,										p
														3
	m 1	2 1					1	m 1	p			1			1	0,
									p							0,
	n	3			3			n			3				3

поэтому сделаем замену согласно (6.48)

x 3 1 t 3

107

Тогда

t 3

4 3 t 2 dt

dx t 3

1 x 3

t 3

Подставляя полученные выражения в интеграл, получаем:

x 2 1 x3

t 3 1

t 3

t 3 1

4 3

t 2 dt

t 3

1 1

1 t

t 1 t

t 1

Разложим подынтегральную функцию на простые дроби:

Mt N

A t 2

t 2 t

t 1

t 2

t 1

t 2 t 1

t 2

t 1

Приравнивая коэффициенты при одинаковых x в числителях, получаем

	2	A M 0	A	1
t	2		A
t			3
			3
t1		A M N 0	M			1
t1		A M N 0	M
					3
					3
t 0		A N 0	N		2
			N		3

Таким образом

							dt										1		dt						1				t 2					dt		t 2		t 1 2t 1
																																		dt		t 2		t 1 2t 1
t 1 t 2 t 1																	3 t 1									3 t 2 t 1
t 1 t 2 t 1																	3 t 1									3 t 2 t 1
													1	2t 1								1		2													1 d t 2 t 1
	1							1				2		2t 1							2			2				1									1 d t 2 t 1
		ln			t 1							2									2								dt		ln		t 1
	3	ln			t 1				3							t 2 t 1														3							6		t 2 t 1
	3								3							t 2 t 1														3							6		t 2 t 1
	1										dt												1									1							1				dt
																										ln			t 1				ln		t 2	t 1
	2			t		2	2	1		t				1				1	1					3		ln			t 1			6								2		1		2		3


								2						4				4																							t
																																									t				4
																																										2			4
	1		ln			t 1 2								1			arctg			2t 1							C

	6					t 2 t 1
															3								3
															3								3

Возвращаясь к исходной переменной x, окончательно получаем:

108

2 x3

x 2

x 3 1

1 x 2

3 x 3 1

x 2

x 3 1

arctg

x 3

1 x

2 x3

3 1 x

3 x3 1

x3 1

x 2

x3 1

Ответ:

arctg

1 x

§ 6.9. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

I. Интегралы вида

sinm x cosn xdx

(6.49)

находят, применяя различные тригонометрические формулы в зависимости от значений m и n.

1) Хотя бы одно из чисел m и n положительно и нечетно. Пусть n 2l 1 , тогда интеграл (1.49) можно преобразовать следующим образом:

sinm x cosn xdx sinm x cos2l x cos xdx
sinm x cos2	x	l	cos2 x 1 sin2	x	(6.50)
sinm x cos2	x		d sin x		(6.50)
			sin x t

t m 1 t 2 l dt

Аналогично поступают в случае m 2l 1.

2)Оба числа m и n - четные и положительные (или нуль). В этом случае степени в подынтегральной функции понижаются с помощью формул:

109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика АВАКЯН

#
15.04.20154.92 Mб40posobie1.pdf
#
15.04.2015342.22 Кб52predely_11.docx